Question

O limite de uma função quando a variável tende a um valor é investigado utilizando-se métodos diversificados, de acordo com a característica da função. Sendo assim, investigue: ​​​​​​

Answer 1

Temos o seguinte limite

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} }$

Vamos substituir x = 1 e ver o que acontece

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} \to \frac{1^2-1}{1}3-1} = \frac{0}{0} }$$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} \to \frac{1^2-1}{1^3-1} = \frac{0}{0} }$ (indeterminação)

Deu indeterminação, então precisamos achar alguma manipulação algébrica para resolvermos. Há duas formas de resolver.

1ª forma de resolver

Fatorando o numerador e denominador.

Note que no numerador aparece o um produto notável do tipo

$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$ , onde $a = x$ e $b = 1$

E no denominador aparece outro produto notável que é este :

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, onde $a = x$ e $b = 1$

Então vamos substituir. Ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} \to \lim_{x \to \ 1} \frac{(x-1).(x+1)}{(x-1).(x^2+x.1+1^2) } \ }$

simplificando o (x-1) do numerador com o denominador.

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{(x+1)}{(x^2+x.1+1^2) } \ }$

Agora podemos substituir x = 1.

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{(x+1)}{(x^2+x.1+1^2) } \to \frac{(1+1)}{(1^2+1.1+1) } \to \frac{1+1}{1+1+1} = \frac{2}{3} }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} = \frac{2}{3} }$

2ª forma de resolver

Podemos resolver usando a regra de L'hospital. A regra diz o seguinte :

Dada duas funções quaisquer $f$ e $g$ deriváveis num intervalo aberto contendo b.

se der indeterminação, do tipo $\frac{0}{0}$  ou $\pm \frac{\infty}{\infty}$ , ou seja :

$\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \frac{0}{0}$  ou  $\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \pm \frac{\infty}{\infty}$

então, podemos derivar o numerador e denominador.  

$\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \lim_{x \to \ b} \frac{[f]'}{[g]' }$

e assim, podemos derivar até sumir com a indeterminação.

$\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \lim_{x \to \ b} \frac{[f]'}{[g]' } = \lim_{x \to \ b} \frac{[f]''}{[g]''} = ...$

Relembrando a derivada do monômio

$\displaystyle [a.x^n + b]' = a.n.x^{(n-1)} + 0$ , $( a \neq 0, b = constante )$

Sabendo disso, vamos para nossa questão.

Temos o seguinte limite :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} }$

ao substituir x =1, dará indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} \to \frac{1^2-1}{1^3-1} = \frac{0}{0} }$

Então podemos aplicar a regra de L'hospital, derivando o numerador e denominador. Ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} = \lim_{x \to \ 1} \frac{[x^2-1]' }{[x^3-1]'} }$

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{[x^2-1]' }{[x^3-1]'} \to \lim_{x \to \ 1} \frac{[2x^{(2-1)} - 0 ]' }{[3.x^{(3-1)}-0]'} \to \lim_{x \to \ 1} \frac{2x}{3x^2} }$

simplificando

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{2x}{3x^2} \to \lim_{x \to \ 1} \frac{2}{3x} }$

agora podemos substituir x = 1. ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{2}{3x} \to \frac{2}{3.1} }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \ 1} \frac{x^2-1}{x^3-1} = \frac{2}{3} }$

Answer 2

Resposta:

B.

2/3

Explicação passo a passo: