Question

O limite das taxas médias de variação de uma função que descreve a relação entre duas quantidades x e y é chamada de taxa de variação instantânea de y em relação a x em x=x1, e pode ser calculada por f’(x1).

BRESCANSIN, Alexandra Y.F. Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-PR: Unicesumar, 2016. P.151.

Um grupo de 200 estudantes universitários foi testado semestralmente durante um período de quatro anos, o grupo era composto de alunos que fizeram um curso de inglês durante o primeiro ano de faculdade e não continuaram a estudar o idioma. A pontuação média no teste p (em porcentagem) é modelada por:


no qual t é o tempo em meses.

Qual foi a taxa de variação da pontuação média depois de um ano? Qual a interpretação do resultado obtido?


Alternativa 1:
p'(12) = 0. Isso significa que a pontuação média manteve-se inalterada no período.

Alternativa 2:
p'(12) = 3,1. Isso significa que a pontuação média estava crescendo à taxa de 3,1% ao mês.

Alternativa 3:
p'(12) = 1,8. Isso significa que a pontuação média estava crescendo à taxa de 1,8% ao mês.

Alternativa 4:
p'(12) = -1,2. Isso significa que a pontuação média estava decrescendo à taxa de 1,2% ao mês.

Alternativa 5:
p'(12) = -2,4. Isso significa que a pontuação média estava decrescendo à taxa de 2,4% ao mês.

Answer 1

A pontuação média no teste o (em porcentagem) é modelada pela função:

p(t) = 91,6 - 15,6.ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 48.

Seguindo as informações dadas no enunciado, vamos, primeiramente, derivar a função p.

Perceba que utilizaremos a Regra da Cadeia para derivar a função ln(t + 1).

Lembrando que $(ln(x))' = \frac{1}{x}$, temos que:

$p'(t) = -15,6.\frac{1}{t+1}.(t + 1)'$

$p'(t) = -\frac{15,6}{t+1}$.

Queremos saber a taxa de variação da pontuação média depois de um ano. Como a incógnita t representa o tempo em meses, então calcularemos t = 12:

$p'(12) = -\frac{15,6}{12+1}$

$p'(12) = -\frac{15,6}{13}$

p'(12) = -1,2.

Portanto, a alternativa correta é a Alternativa 4.