Question

O Lago Bolonha é o principal reservatório de abastecimento de água da Região Metropolitana de Belém, e o controle da quantidade de algas e bactérias que nele habitam é importante. Sabe-se que, em condições favoráveis, o número de bactérias em uma colônia cresce segundo uma progressão geométrica. Se uma certa colônia, inicialmente com cerca de 1.000 bactérias, quadruplica seu número de bactérias a cada 24 horas, o número de bactérias ultrapassará 1.000.000 no decorrer do  

 a)

terceiro dia. 

 b)

quarto dia.  

 c)

quinto dia. 

 d)

décimo dia.  

Answer 1

Olá!


A experiência é realizada em progressão geométrica com o número inicial de 1000 bactérias que se quadruplica a cada 24 horas, no decorrer de dias o seu número ultrapassará 1.000.000 de bactérias em qual dia?


Temos os seguintes dados:

a1 (primeiro termo) = 1000
q (razão) = 4
Sn (soma dos elementos) = 1000000
n (nº de dias) = ?

Vamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG, vejamos:

$S_n = \dfrac{a_1*(q^n-1)}{q-1}$

$1000000 = \dfrac{1000*(4^n-1)}{4-1}$

$1000000 = \dfrac{1000*(4^n-1)}{3}$

multiplique os meios pelos extremos

$3000000 = 1000*(4^n-1)$

$\dfrac{3000\diagup\!\!\!0\diagup\!\!\!0\diagup\!\!\!0}{1\diagup\!\!\!0\diagup\!\!\!0\diagup\!\!\!0} = 4^n-1$

$3000 = 4^n-1$

passamos o 1 para o outro lado mudando o sinal

$3000+1 = 4^n$

$3001 = 4^n$

$\boxed{4^n = 3001}$

Agora, vamos encontrar o nº de dias que satisfaçam a equação exponencial, vejamos:

Sendo n = 1 (p/ o 1º dia)
Temos:
$4^1 = 4$

Sendo n = 2 (p/ o 2º dia)
Temos:
$4^2 = 8$

Sendo n = 3 (p/ o 3º dia)
Temos:
$4^3 = 64$

Sendo n = 4 (p/ o 4º dia)
Temos:
$4^4 = 256$

Sendo n = 5 (p/ o 5º dia)
Temos:
$4^5 = 1024$

Sendo n = 6 (p/ o 6º dia)
Temos:
$4^6 = 4096$

Nota: Observe que no 5º dia o número de bactérias satisfaz a equação exponencial, tendo em vista que o número de bactérias é de 3001 bactérias e a mesma está compreendida entre o 5º dia (1024 bactérias) e 6º dia (4096 bactérias), mas no 6º dia o número de bactérias excede o valor da equação exponencial, portanto, a resposta que satisfaz o enunciado é no 5º dia.


OUTRO MÉTODO DE RESOLUÇÃO

Dados: 

1000 (nº inicial de bactérias por dia)
4 (razão da quadruplicação do número de bactérias por dia)

Logo:

primeiro dia = 1000*4 = 4.000
segundo dia = 4000*4 = 16.000
terceiro dia = 16000*4 = 64.000
quarto dia = 64000*4 = 256.000
quinto dia = 256000*4 = 1.024.000 

Nota: (o número de bactérias ultrapassará 1.000.000 no decorrer do  quinto dia)

Resposta: c) quinto dia

Espero ter ajudado!