Question

o lado , a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados ,nessa ordem, por 3 números em PG .O VOLUME DESSE CUBO É ??

Answer 1

Olá, vamos lá.

Se é uma Progressão Geométrica (PG) temos então:

$(a_1,\;a_2,\;a_3)$

Tem-se que eles são respectivamente valores do lado, diagonal de uma face e do volume.

Vale lembrar que o termo posterior de uma PG é igual ao anterior vezes a razão (q), então se reescrevermos obtém-se:

$(a_1,\;a_1\cdot\!q,\;a_1cdot\!q^2)$

Agora vamos ao que os valores representam, o lado, não há muito o que se fazer.

A diagonal de uma face de um cubo é um quadrado, temos um fórmula então:

$d=l\sqrt{2}$

Olhando na PG, o lado é $a_1$ e a diagonal vale $a_2=a_1\cdot\!q$

$d=l\sqrt{2}$

$a_1\cdot\!q=a_1\sqrt{2}$

É possível "cortar" a1, entende-se que:

$q=\sqrt{2}$

Guardando esta informação vamos prosseguir para o volume.

O volume de um cubo é dado por:

$V=l^3$

E, segundo o enunciado ele é: $a_3=a_1\cdot\!q^2$

Basta novamente substituir:

$V=l^3$

$a_1\cdot\!q^2=a_1^3$

Sabemos quanto vale "q"

$a_1\cdot\sqrt{2}^2=a_1^3$

$2a_1=a_1^3$

$2=a_1^2$

$a_1=\sqrt{2}$

Achamos o valor de a1 também.

Com tudo isso podemos descobrir finalmente o volume:

$V=a_1\cdot\!q^2$

$\boxed{V=2\sqrt{2}}$

Espero que tenha entendido, bons estudos.