Question

O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presente () que podemos modelar matematicamente pela equação diferencial de variáveis separáveis

= ∙ . Se 80 deste material são reduzidos a 70 em dois anos, determine o tempo necessário para que a massa venha a decair 60% do seu valor original.
Dica: deve-se, inicialmente, separar as variáveis e obter a forma

= ∙ e, na sequência integrar esta equação e
depois substituir os pontos (0) = 80 e (2) = 70. Após estas substituições, obtém-se os valores das constantes proveniente
da integração e da proporcionalidade .

Answer 1

Resolvendo a equação diferencial dada, temos que precisamos que se passem 7,85 anos para que ele caia até 60% de seu valor.

Explicação passo-a-passo:

Se este objeto decai com uma taxa proporcional a sua quantidade atual, isto significa que:

$\frac{dq(t)}{dt}=k.q(t)$

Onde k é a constante de proporcionalidade.

Assim integrando os dois lados temos:

$q(t)=C.e^{k.t}$

Onde C é uma constante de integração arbitrária que não se modifica com a derivação desta função.

Agora para termos a função completa, precisamos utilizar os valores dados.

Sabemos que q(0) é igual a 80, pois no inicio ele tinha 80:

$q(0)=C.e^{k.0}=C.1=80$

Assim temos que:

$q(t)=80.e^{k.t}$

E sabemos q(2)=70, pois depois de 2 anos, temos somente 70 dele sobrando:

$q(t)=80.e^{k.t}$

$q(2)=80.e^{k.2}$

$70=80.e^{k.2}$

$\frac{70}{80}=e^{k.2}$

Aplicando Ln dos dois lados:

$Ln(\frac{7}{8})=2k$

$-0,13=2k$

$k=-0,065$

Assim temos a função completa:

$q(t)=80.e^{-0,065t}$

Agora queremos saber quanto esta função vai ter somente 60% dela, ou seja, sendo 60% de 80 igual a 48, então queremos saber quando esta função for igual a 48:

$48=80.e^{-0,065t}$

$\frac{48}{80}=e^{-0,065t}$

$0,6=e^{-0,065t}$

Aplicando Ln dos dois lados:

$Ln(0,6)=-0,065t$

$-0,51=-0,065t$

$t=\frac{0,51}{0,065}$

$t=7,85$

Assim precisamos que se passem 7,85 anos para que ele caia até 60% de seu valor.