Question

O intervalo de números reais que contém todos os pontos do domínio da função logarítmica $f\:x=\:\log _{x+1}(-x^{2} -x+6)$ é dado por:


a) 2 < x < 3 e x ≠ 0
b) -2 < x < 3 e x ≠ -1
c) 1 < x < 2 e x ≠ 1
d) 1 < x < 2 e x ≠ 0

Answer 1

Podemos concluir que o domínio dessa função é

$\boxed{D= -1 < x < 2 ~~ x\neq 0}$

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• Mas, como chegamos nessa conclusão?

Bem antes de começarmos a responder a questão temos que lembrar o que é domínio de uma função

• Domínio de uma função são todos os valores que a variável X possa assumir de modo que não gera uma indeterminação na função

• Indeterminação na matemática são valores que não podemos calcular, como por exemplo dividir algum número por 0 ou raiz quadrada negativa

Exemplos de indeterminação :  $\dfrac{1}{0}, ~\sqrt[2]{-3} ,~ \log_{-3}(-10)$

Agora vamos olhar a função dada pela questão

$F(x)=\log_{x+1}(-x^2-x+6)$

Uma função logarítmica. Para a existência de um logaritmo temos que seguir algumas regras.

• A base do logaritmo tem que ser maior que 0 e diferente de 1

• O logaritmano tem que ser maior que 0

Analisando a função  $F(x)=\log_{x+1}(-x^2-x+6)$ perceba que a base  do Log é $(X+1)$ e o logaritmano é $(-X^2-X+6)$ ou seja as condições de existência de log são

$Base: (x+1) > 0~~(x+1)\neq ~1$

$Logaritmano: (-x^2-x+6) > 0$

Perceba que temos 3 condições de existência, vamos analisar cada uma separadamente

• Primeira condição

$x+1\neq 1\\\\x\neq 1-1\\\\\boxed{x\neq 0}$

Ou seja X não pode assumir o valor 0

• Segunda condição

$x+1 > 0\\\\x > 0-1\\\\\boxed{x > -1}$

Ou seja X tem que ser um número maior que -1

• Terceira condição

$-x^2-x+6 > 0$

Uma inequação do 2°, aplicamos bhaskara e depois testamos os sinais

$-x^2-x+6 > 0\\\\A=-1\\B=-1\\C=6\\\\\\\dfrac{-B\pm \sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C } }{2\cdot A} \\\\\\\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-1)\cdot 6 } }{2\cdot (-1)}\\\\\\\dfrac{1\pm \sqrt{25 } }{-2}\\\\\\\dfrac{1\pm 5}{-2}\\\\\\X_1=\dfrac{1+ 5}{-2}\Rightarrow \dfrac{6}{-2} \Rightarrow \boxed{-3}\\\\\\X_1=\dfrac{1- 5}{-2}\Rightarrow \dfrac{-4}{-2} \Rightarrow \boxed{2}$

agora vamos checar os sinais da função

vamos pegar um número menos que -3 e substituir na expressão $-x^2-x+6$  vou usar o -4

$-x^2-x+6\\\\-(-4)^2-(-4)+6\\\\-16+4+6\\\\-16+10\\\\\boxed{-6}$

significa que os números menores que -3 darão números negativos isso quer dizer que nosso sinal tem que ser  maior que -3 e menor que 2 ja que na expressão precisamos dos números que de maiores que 0

$\boxed{-3 < x < 2}$

então temos essa 3 condições

$x\neq 0\\x > -1\\\\-3 < x < 2$

perceba que a condição dois fala que  X tem que ser maior que -1  e isso afetará a condição três então vamos juntar as duas

$\boxed{x > -1} ~~+\boxed{-3 < x < 2} = \boxed{-1 < x < 2}$

Então os valores possíveis de X que é o domínio dessa função são todos os números maiores que -1 e menores que 2 com exceção do 0

$\boxed{D= -1 < x < 2 ~~ x\neq 0}$

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