Question

O intervalo de números reais que contém todos os pontos do domínio da função logarítmica f(x) = LOG x+1 (-x² - x + 6) é dado por?

Answer 1

Após a realização dos cálculos, concluímos que o domínio da função é

$\sf dom\,f(x)=\{x\in\mathbb{R}/-1 < x < 2~x\ne0\}$

Definição de logaritmo

Chama-se logaritmo de um número real b positivo,na base real a positiva e diferente de 1 o número x a qual se deve elevar a para se obter b.

matematicamente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_ab=x\iff a^x=b~para~b>0,a>0\,e\,a\ne1\end{array}}$

Intersecção de intervalos

Consiste em identificar o intervalo que satisfaz duas ou mais condições simultaneamente

Vamos a resolução do exercício

Aqui iremos utilizar as condições de existência dos logaritmos e a intersecção de intervalos para encontrar o domínio da função

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=\log_{x+1}(-x^2-x+6)\\\sf  -x^2-x+6>0\\\sf g(x)=-x^2-x+6.\end{array}}$

calculando as raízes da função realizando o estudo do sinal temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf -x^2-x+6=0\\\sf s=-\dfrac{-1}{-1}=-1\\\sf p=\dfrac{6}{-1}=-6\\\sf x_1=2~~x_2=-3\\\sf g(x)>0\implies -32\end{array}}$

como queremos $\sf g(x)>0$ temos ,que o intervalo pedido é

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf s_1=\{x\in\mathbb{R}/-1 < x < 2\}}}}}$

Agora devemos impor que a base seja positiva e diferente de 1:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf x+1>0\implies x>-1\\\sf x+1\ne1\\\sf x\ne1-1\\\sf x\ne0\\\sf s_2=\{x\in\mathbb{R}/x>-1\,e\,x\ne0\}\end{array}}$

realizando a intersecção das duas condições temos:

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf dom\,f(x)=\{x\in\mathbb{R}/-1 < x < 2~x\ne0\}}}}}$