Question

O incorporador quer dividir um terreno em vários lotes desiguais, observando as seguintes condições: todos os lotes deve ser retangulares, todos os lotes deve ter 68 m de perímetro. Qual é a maior área possível que um desses lotes pode ter?

Answer 1

• Considere um terreno cujos lados perpendiculares medem x e y.

• O perímetro de um retângulo é obtido calculando o dobro da soma de seus lados perpendiculares.

P = 2(x + y) ⟹ Substitua o valor do perímetro fornecido no enunciado.

68 = 2(x + y) ⟹ Divida ambos os membros por 2.

34 = x + y

y = 34 − x ①

• A área de um retângulo é obtido com o produto de seus lados perpendiculares.

A = x • y ②

• Substitua ① em ②.

A = x • (34 − x)

A = 34x − x² ③

• Observe que a área é representada por uma equação do segundo grau e portanto seu gráfico é representado por uma parábola. e podemos escrever: A(x) = 34x − x²

• O coeficiente de x² é negativo portanto a parábola é de concavidade para baixo.
• Deseja-se determinar a maior área possível para o terreno portanto deve-se encontrar o valor de x de forma que o valor de A(x) seja máximo
• O valor máximo de A(x) ocorre no vértice da parábola. A coordenada x do vértice é obtida por:

$\large \sf x_V = -\dfrac{b}{2a}$  ④ onde a e b são os coeficientes da função A(x) = ax² + bx.

Para A(x) = 34x − x²:

a = −1

b = 34

• Substitua os valores de a e b na equação ④.

$\large \sf x_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{34}{2(-1)}$

$\large \sf x_V = 17$

• Substitua o valor de $\large \sf x_V$ na equação ③.

A = 34x − x²

A = 34×17 − 17²

A = 578 − 289

A = 289 m²

A maior área possível que um desses lotes pode ter é de 289 m².

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