Question

O hexágono convexo ABCDEF ilustrado

abaixo tem todos os seus ângulos internos medindo

120°. Se AB = 6, BC = 10, CD = 4 e DE = 14, qual a área

do hexágono?

Answer 1

$Vamos \ chamar \ o \ \^angulo \ do \ v\'ertice \ A \ de \ \widehat{a}. \\ \\ De forma \ an\'aloga, \ nos \ outros \ v\'ertices, \ temos \ os \ \^angulos : \\ \\ \rightarrow \ B : \widehat{b};\\ \rightarrow \ C : \widehat{c};\\ \rightarrow \ D : \widehat{d};\\ \rightarrow \ E : \widehat{e};\\ \rightarrow \ F : \widehat{f};$

$O \ \^angulo \ em \ uma \ linha \ \'e \ raso \ (180^\circ). \\ \\ Vamos \ pegar, \ por \ exemplo, \ a \ linha \ do \ \^angulo \ \widehat{a}. \\ \\ Veja \ que : \\ \\ 120^\circ \ (\^angulo \ interno \ do \ hex\'agono) \ + \ \widehat{a} \ = \ 180^\circ \\ \\ \widehat{a} \ = \ 60^\circ.$

$Veja \ que \ B, \ C, \ D, \ E \ e \ F, \ assim \ como \ A, \ tamb\'em \ 'completam' \ o \\ hex\'agono. \\ \\ \widehat{a} \ = \ \widehat{b} \ = \ \widehat{c} \ = \ \widehat{d} \ = \ \widehat{e} \ = \ \widehat{f} \ = \ 60^\circ$

$Todos \ os \ \Delta \ pontilhados \ t\^em \ 2 \ \^angulos \ de \ 60^\circ. \\ \\ Por \ isso, \ os \ '\^angulos \ que \ faltam' \ desses \ \Delta \ tamb\'em \ = \ 60^\circ. \\ \\ Todos \ os \ \Delta \ pontilhados \ s\~ao \ equil\'ateros.$

$Veja \ o \ tri\^angulo \ grande \ composto \ pelo \ hex\'agono \ + \ os \ \Delta \\ pontilhados. \\ Chame \ de \ G \ (em \ cima), \ H \ (\`a \ esquerda) \ e \ I \ (\`a \ direita) \ os \ v\'ertices \\ desse \ \Delta \ grande. \\ \\ Como \ a \ gente \ j\'a \ fez, \ os \ \^angulos \ desses \ v\'ertices \ s\~ao \ :$

$\rightarrow \ G : \widehat{g}; \\ \rightarrow \ H : \widehat{h}; \\ \rightarrow \ I : \widehat{i}; \\ \\ (Esses \ s\~ao \ os \ '\^angulos \ que \ faltam' \ e \ que \ tamb\'em \ = \ 60^\circ).$

$\Delta \ GHI \ tamb\'em \ \'e \ um \ \Delta \ equil\'atero.$

$Se \ AB \ = \ 6, \ AG \ = \ BG \ = \ 6 \ tamb\'em \ (\Delta ABG \ equil\'atero). \\ \\ A(\Delta ABG) \ = \ \frac{L \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \ \rightarrow \ L \ = \ 6 \ cm \ : \\ \\ A(\Delta ABG) \ = \ \frac{6 \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \\ \\ A(\Delta ABG) \ = \ 9 \ . \ \sqrt{3} \ cm^2$

$Como \ CD \ = \ 4, \ CI \ = \ DI \ = \ 4 \ \ (\Delta CDI \ equil\'atero). \\ \\ A(\Delta CDI) \ = \ \frac{L \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \ \rightarrow \ L \ = \ 4 \ cm \ : \\ \\ A(\Delta CDI) \ = \ \frac{4 \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \\ \\ A(\Delta CDI) \ = \ 4 \ . \ \sqrt{3} \ cm^2$

$Sabemos \ que, \ em \ \Delta \ GHI, \ GH \ = \ GI \ = \ HI. \\ \\ \\ Fazendo \ HI \ = \ GI :$

$HE \ + \ ED \ + \ DI \ = \ GB \ + \ BC \ + \ CI \\ \\ HE \ + \ 14 \ + \ 4 \ = \ 6 \ + \ 10 \ + \ 4 \\ \\ HE \ = \ 16 \ - \ 14 \\ \\ HE \ = \ 2 \ cm$

$Para \ \Delta EFH \ (EF \ = \ EH \ = \ HF \ = \ 2 \ cm) \ \rightarrow \\ \\ A(\Delta EFH) \ = \ \frac{L \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \ \rightarrow \ L \ = \ 2 \ cm \ : \\ \\ A(\Delta EFH) \ = \ \frac{2 \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \\ \\ A(\Delta EFH) \ = \ \sqrt{3} \ cm^2$

$Calculando \ o \ lado \ do \ \Delta GHI \ equil\'atero \ \rightarrow \\ \\ GI \ = \ GB \ + \ BC \ + \ CI \\ \\ GI \ = \ 6 \ + \ 10 \ + \ 4 \\ \\ GI \ = \ GH \ = \ HI \ = \ 20 \ cm \\ \\ A(\Delta GHI) \ = \ \frac{L \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \ \rightarrow \ L \ = \ 20 \ cm \ : \\ \\ A(\Delta GHI) \ = \ \frac{20 \ ^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \\ \\ A(\Delta GHI) \ = \ 100 \ . \ \sqrt{3} \ cm^2$

$Veja, \ no \ desenho, \ que \ a \ \'area \ do \ hex\'agono \ A(hex) \ \'e \ \rightarrow \\ \\ A(hex) \ = \ A(\Delta GHI) \ - \ A(\Delta EFH) \ - \ A(\Delta CDI) \ - \ A(\Delta ABG) \\ \\ A(hex) \ = \ 100 \ . \ \sqrt{3} \ - \ \sqrt{3} \ - \ 4 \ . \ \sqrt{3} \ - \ 9 \ . \ \sqrt{3} \\ \\ \boxed{\boxed{A(hex) \ = \ 86 \ . \ \sqrt{3} \ cm^2}} \ \rightarrow \ \'Area \ do \ hex\'agono \ ! \\ \\ \\ (AF \ = \ 12 \ cm)$