Question

O grêmio estudantil do Colégio deve escolher uma diretoria composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro, escolhidos entre os 6 alunos e as 8 alunas que se candidataram. O número de possibilidades de que a diretoria escolhida seja formada por duas alunas nos cargos de presidente e vice-presidente e dois alunos nos cargos de secretário e tesoureiro é?
(explique, por favor)
Gabarito: 1680

Answer 1

PARTE 1:
O que queremos?  R: Um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O que (quem) temos à nossa disposição? R: 6 alunos e 8 alunas.

Para os cargos de presidente e vice-presidente temos as alunas, correto?

Cargo 1 = PRESIDENTE
Cargo 2 = VICE-PRESIDENTE

Quantas alunas se candidataram? 8, certo? 

Primeiramente, vamos descobrir quantas possibilidades temos para esses cargos.  Através do PFC (princípio fundamental da contagem):

A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}
(CONJUNTO DE ALUNAS QUE SE CANDIDATARAM)

(______), (______) 

Nesse tipo de problema, quando temos um conjunto e queremos saber quantas combinações são possíveis (importando a ORDEM, pois uma deve ser presidente e a outra, vice-presidente), fazemos o seguinte:

n . (n - 1)

n = número de elementos do conjunto

Como são duas vagas, você multiplica por (n - 1). Se fossem três vagas, você desceria até ter três fatores, ou seja, n . (n - 1) . (n - 2). Se fossem 5 vagas, faria surgir 5 fatores, começando pelo n, assim: n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . (n - 4).

Como são duas, paramos no (n - 1), pois com o n ele forma um par.

Logo, fica assim:

8 . 7 = 56

Sendo assim, há 56 possibilidades para as garotas. Façamos o mesmo para os rapazes:

B = {b1, b2, b3, b4, b5, b6}
(CONJUNTO DOS ALUNOS)

Como são dois cargos, n . (n - 1) [dois fatores] =

6.5 = 30

PARTE 2: 
Se você tratar cada conjunto de duas alunas e dois alunos como PARES ORDENADOS (por exemplo, Carla (presidente) e Ana (vice-presidente) formam um par, enquanto Ana (presidente) e Carla (vice-presidente) formam OUTRO par), você terá 56 + 30 pares).

Continuando...

Agora você deve saber de quantas maneiras pode escolher os dois pares ordenados. 

Outra ferramenta irá nos ajudar: 

X = {(Ana, Paula), (Paula, Ana) ... (Laís, Sandra)}  [Conjunto dos pares de meninas]
> O número de elementos é, como vimos, 56.

> Note que há dois pares com as mesmas garotas. Não está errado, não. Observe que nos pares ordenados a ordem importa. Convencionando que o primeiro elemento é a presidenta, temos que no primeiro par a presidenta é Ana. No segundo, é Paula. Os outros elementos representam as vice-presidentes).

Y = {(Tiago, Pedro), ..., (Marcos, João), (João, Marcos)}
> O número de elementos (pares) é 30.

Como n(X) = 56 e n(Y) = 30, basta multiplicar:

56 . 30 = 1680

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode pôr nos comentários.