Question

O gráfico de certa função quadrática, f, é uma parábola com concavidade voltada para cima e com vértice no ponto (-0,5 ; -2,25).
a)Se uma das raízes da função f é -2, dê o valor da outra raiz.
b)No plano cartesiano, esboce adequadamente o gráfico da função f.

Answer 1

Vamos começar lembrando um pouquinho sobre as funções de 2º grau, mas, caso já esteja familiarizado com a parte sobre a parte teórica, você pode ir direto para os cálculos.

A função de 2º grau (quadrática) é dada, de forma geral, por f(x)=ax²+bx+c, sendo que o coeficiente "a" sempre será diferente de 0 (a≠0).

A representação gráfica destas funções se dá na forma de uma parábola, podendo estar com a concavidade voltada para cima (a>0) ou com a concavidade volta para baixo (a<0).

Ainda sobre sua representação gráfica, temos alguns pontos característicos que devem, sempre que possível, ser indicados. Estes pontos são:

--> Pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas (eixo x), podendo haver nenhum, um ou dois pontos de contato da parábola neste eixo. Estes pontos são (x',0) e (x'',0), onde x' e x'' são as raízes Reais da função, calculadas pela fórmula de Bhaskara.

--> Ponto onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo y). Este ponto é (0,c), onde "c" é termo independente da função (coeficiente "c").

--> Vértice da parábola. Este ponto representa o ponto mínimo da função quando temos a concavidade voltada para cima e o ponto máximo quando a concavidade está voltada para baixo. O vértice (Vx,Vy) é calculado por:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

Vale mencionar ainda que Vx pode ser calculado pela média aritmética entre as duas raízes (x' e x'') e que f(Vx)=Vy.

Disto isso, podemos agora partir para as informações dadas no exercício.

A primeira informação dada, nos diz que a concavidade está voltada para cima, portanto podemos afirmar que o coeficiente "a" é positivo.

As coordenadas do vértice dadas nos permitem traçar relações entre os coeficientes "a", "b" e "c". Como Vx=-0,5, temos:

$-\dfrac{b}{2a}~=\,-0,5\\\\\\-b~=\,-0,5\cdot2a\\\\\\-b~=\,-1a\\\\\\\boxed{a~=~b}$

Como Vy=-2,25, temos:

$-\dfrac{\Delta}{4a}~=\,-2,25\\\\\\-(b^2-4ac)~=\,-2,25\cdot 4a\\\\\\b^2-4ac~=~9a\\\\\\Como~sabemos~que~a=b:\\\\\\a^2-4ac~=~9a\\\\\\\boxed{a^2-4ac-9a~=~0}$

Vamos guardar esta última relação achada para depois.

A última informação nos diz que -2 é uma das raízes da função, ou seja, se substituirmos "x" por -2 na função f(x)=ax²+bx+c, obteremos 0, logo:

$a\cdot (-2)^2+b\cdot(-2)+c~=~0\\\\\\a\cdot 4-2b+c~=~0\\\\\\Como~a=b:\\\\\\4a-2a+c~=~0\\\\\\2a+c~=~0\\\\\\\boxed{c~=\,-2a}$

Substituindo "c" por "-2a" na equação que havíamos guardado acima, temos:

$a^2-4ac-9a~=~0\\\\\\a^2-4a\cdot (-2a)-9a~=~0\\\\\\a^2+8a^2-9a~=~0\\\\\\9a^2-9a~=~0\\\\\\a\cdot (9a-9)~=~0\\\\\\Temos~uma~equacao~2^ograu~incompleta.\\Para~que~a\cdot(9a-9)~resulte~em~0,~ ou~a=0,~ou~(9a-9)=0.$

$9a-9~=~0\\\\9a~=~9\\\\a~=~\dfrac{9}{9}\\\\\boxed{a~=~1}$

Assim, temos duas "possibilidades" para o coeficiente "a": 0 e 1.

Vamos lembrar, entretanto, que o coeficiente "a" sempre é diferente de 0, logo o único valor válido para este coeficiente é 1.

Em posse do valor de "a", podemos calcular "b" e "c":

$b~=~a\\\\\boxed{b~=~1}\\\\\\c~=\,-2a\\\\c~=\,-2\cdot 1\\\\\boxed{c~=\,-2}$

Como resultado, então, temos f(x)=x²+x-2

Por fim, podemos agora responder o que é pedido no exercício.

a)

Para determinarmos as raízes, utilizamos a fórmula de Bhaskara:

$\Delta~=~b^2-4ac\\\\\Delta~=~1^2-4\cdot 1\cdot (-2)\\\\\Delta~=~1+8\\\\\boxed{\Delta~=~9}\\\\\\x~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\left\{\begin{array}{l}x'~=~\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-1+3}{2}~=~\dfrac{2}{2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=~1}\\\\x''~=~\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-1-3}{2}~=~\dfrac{-4}{2}~\Rightarrow~\boxed{x''=\,-2}\end{array}\right.$

Logo, a raiz restante vale 1.

Perceba que, como mencionado na parte teórica, Vx pode ser calculado pela média aritmética entre as duas raízes, ou seja, o cálculo acima poderia ter sido obtido mais rapidamente por:

$V_x~=~\dfrac{x'+x''}{2}\\\\\\-0,5~=~\dfrac{x'+(-2)}{2}\\\\\\2\cdot (-0,5)~=~x'-2\\\\\\-1~=~x'-2\\\\\\x'~=~-1+2\\\\\\\boxed{x'~=~1}$

b)

Localizando os pontos característicos (x',0), (x'',0), (0,c) e (Vx,Vy), mencionados na parte teórica desta resolução, no plano cartesiano e traçando uma parábola por eles, devemos obter um gráfico semelhante ao que é apresentado na figura anexada.

Lembre-se que, como temos agora a função, podemos calcular outros pontos para aprimorar o esboço e deixa-lo o mais preciso possível.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$