Question

O gráfico da função y = 3x² + 2x + (m - 1) não tem ponto em comum com o eixo das abscissas. O menor valor inteiro possível de m é:

Answer 1

Olá, boa noite

Devemos determinar o menor valor inteiro que $m$ assume de modo que o gráfico da função $y=3x^2+2x+m-1$ não tenha pontos em comum com o eixo das abscissas.

No estudo das funções quadráticas, quando uma parábola não apresenta estes pontos em comum com o eixo das abscissas, isto significa que ele não apresenta raízes reais (apenas raízes complexas, conjugadas).

Para determinarmos este comportamento antes de calcular as raízes, utilizamos o discriminante delta: dada uma função quadrática $y=ax^2+bx+c$, em que $a\neq0$, seu discriminante é calculado pela fórmula $\Delta=b^2-4ac$.

Seu valor pode ser usado para definir o comportamento das raízes da função e, consequentemente, seu gráfico:

• Se $\Delta>0$, a função apresenta duas raízes reais distintas e seu gráfico apresenta dois pontos em comum com o eixo das abcissas.
• Se $\Delta=0$, a função apresenta duas raízes reais iguais e seu gráfico apresenta apenas um ponto em comum com o eixo das abscissas.
• Se $\Delta<0$, a função apresenta duas raízes complexas conjugadas e não apresenta pontos em comum com o eixo das abscissas.

Assim, devemos encontrar o valor de $m$ de modo que $\Delta<0$:

Substituindo os coeficientes $a=3,~b=2$ e $c=m-1$, teremos

$\Delta=2^2-4\cdot3\cdot(m-1)<0$

Calcule a potência e multiplique os valores

$4-12m+12<0$

Some os valores

$16-12m<0$

Subtraia $16$ em ambos os lados da inequação

$-12m<-16$

Divida ambos os lados da inequação por um fator $-12$, invertendo o sinal de desigualdade

$m>\dfrac{-16}{-12}$

Simplifique a fração

$m>\dfrac{4}{3}$

Então, utilizamos a função menor inteiro para calcular o valor que buscamos:

$\left \lfloor m \right \rfloor=1$

Este é o menor valor inteiro que $m$ assume de modo que a função não tenha ponto em comum com o eixo das abscissas.