Question

O gráfico da função seno é congruente ao gráfico da função cosseno, porém transladado em a unidades para a direita.



A) Qual é o valor de a ?



B) Quais as coordenadas dos pontos em que o gráfico do seno cruza o do cosseno no intervalo [-π,9π/4[?



C) Esboce os gráficos do seno e do cosseno no intervalo [-π,9π/4[.

Answer 1

A) o valor de a é $\dfrac{\pi}{2}$

B)

O gráfico da função seno tem,

para x =0, o valor sen(0)=0

para x =$\frac{\pi}{2}$, o valor sen($\frac{\pi}{2}$)=1

para x =$\pi$, o valor sen($\pi$)=0

para x =$\frac{3\pi}{2}$, o valor sen($\frac{3\pi}{2}$)=-1

para x =$2\pi$, o valor sen($2\pi$)=sen(0)=0

O gráfico da função cosseno tem,

para x =0, o valor cos(0)=1

para x =$\frac{\pi}{2}$, o valor cos($\frac{\pi}{2}$)=0

para x =$\pi$, o valor cos($\pi$)=-1

para x =$\frac{3\pi}{2}$, o valor cos($\frac{3\pi}{2}$)=0

para x =$2\pi$, o valor cos($2\pi$)=cos(0)=1

Podemos então perceber que cosseno e seno estão transladados um do outro por um fator de $\dfrac{\pi}{2}$.

Além disso, a interseção da função seno com a cosseno ocorre quando

$cos(x)=sen(x)$

Se dividirmos os dois lados por cos(x), teremos

$1=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}=tan(x)$

Os valores que fazem tan(x)=1 são os valores $x=n\pi+\dfrac{\pi}{4}$

assim, no intervalo  [-π,9π/4[ teremos os seguintes pontos de interseção:

$x=-\dfrac{3\pi}{4}, y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$x=\dfrac{\pi}{4}, y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$x=\dfrac{5\pi}{4}, y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Note que o ponto 9π/4 não faz parte do intervalo. portanto, serão apenas estes 3 pontos.

O gráfico esboçado está em anexo.