O gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (15 - m) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0, k). Se a abscissa do vértice da parábola negativa, determine o valor numérico de k
Soluções para a tarefa
Veja, Caroline, vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Tem-se que o gráfico da função y = x² + mx + (15-m) tangencia o eixo das abscissas (eixo dos "x") e corta o eixo das ordenadas (eixo dos "y") no ponto (0; k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, determine o valor número de "k".
Como dissemos, vamos fazer tudo passo a passo.
i) Se o gráfico da função dada tangencia o eixo dos "x", então é porque a função tem duas raízes reais e IGUAIS. Se são iguais, então o delta (b² - 4ac) deverá ser igual a zero. Note que o delta da função dada é este:
m² - 4*1*(15-m) ---------- Então vamos igualá-lo a zero. Assim:
m² - 4*(15-m) = 0
m² - 4*15 + 4m = 0
m² - 60 + 4m = 0 ---- ordenando, teremos:
m² + 4m - 60 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontram-se as seguintes raízes:
m' = - 10
m'' = 6
ii) Como já temos que "m" poderá ser igual a "-10" ou igual a "6", então a função dada poderá ser uma das seguintes (basta substituir "m" por "-10" e depois por "6"):
ii.a) para m = - 10, na função: y = x² + mx + 15-m, teremos:
y = x² - 10x + 15-(-10)
y = x² - 10x + 15+10
y = x² - 10x + 25 <--- Esta seria a função para m = - 10
ii.b) para m = 6, na função: y = x² + mx + 15-m, teremos:
y = x² + 6x + 15-6
y = x² + 6x + 9 <--- Esta seria a função para m = 6.
iii) Agora veja que o "x" do vértice (xv), que é a abscissa do vértice de uma parábola, é dada pela seguinte fórmula:
xv = -b/2a
Agora note: se tomarmos a primeira função, que é: y = x² - 10x + 25 e substituirmos o "b" acima por "-10" e "a" por "1", iremos ter uma abscissa positiva, veja:
xv = -(-10)/2*1
xv = 10/2
xv = 5 <---- Logo, não nos interessa ter a abscissa do vértice positiva.
Dessa forma, a função deverá ser a outra, que é: y = x² + 6x + 9 . Assim, ao encontrarmos a abscissa do vértice, teremos:
xv = -b/2a ---- substituindo "b" por "6" e "a" por "1", teremos:
xv = -6/2*1
xv = - 3 <---- Esta será a abscissa do vértice da parábola, que tem um valor negativo, exatamente como é informado no enunciado da questão.
iv) Finalmente, vamos agora encontrar qual é a ordenada do ponto em que a parábola corta o eixo dos "y", que é o ponto (0; k). Vamos, portanto, encontrar qual é o valor desse "k".
Ora, como já sabemos qual é a função que vamos utilizar, que é:
y = x² + 6x + 9 , então, para encontrar qual é o valor do ponto em que a parábola corta o eixo dos "y", basta que façamos "x" igual a zero. Assim, teremos:
y = 0² + 6*0 + 9
y = 0 + 0 + 9
y = 9 <---- Este é o valor de "y", quando "x" for igual a zero.
Então é esse o ponto (0; k) = (0; 9) .
Assim, o valor numérico de "k" será:
9 <------ esta é a resposta .
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
O valor numérico de k é 9.
Se a parábola da função quadrática f(x) = x² + mx + (15 - m) tangencia o eixo das abscissas, então podemos afirmar que f possui uma única raiz real.
Para isso, temos que delta tem que ser igual a zero.
Calculando o valor de delta, obtemos:
Δ = m² - 4.1.(15 - m)
Δ = m² - 60 + 4m.
Assim, m² + 4m - 60 = 0.
Perceba que podemos escrever a equação do segundo grau acima da forma (m - 6)(m + 10) = 0.
Logo, m = -10 ou m = 6.
Além disso, temos a informação de que a parábola corta o eixo das ordenadas no ponto (0,k), ou seja,
k = 15 - m.
A abcissa do vértice é definida como xv = -b/2a.
Então,
xv = -m/2.
Se a abscissa é negativa, então temos que ter m = 6.
Portanto, k = 15 - 6 = 9.
Para mais informações sobre função quadrática, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18619937
