Question

O gráfico da função quadrática definida por y=x²-mx+(m-1), onde m pertence ao campo dos número reais, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine f(0) + 2f (-2) + 4f(1)

Answer 1

Se a função possui um único ponto em comum com o eixo das abscissas significa que só possui uma raiz, portanto, Δ = 0.

Assim:

$\Delta=0\\ \\ \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c\\ \\ b^{2}-4\cdot a\cdot c=0\ \Rightarrow \left(-m\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(m-1\right)=0\ \Rightarrow\\ \\ m^{2}-4m+4=0$

Agora vamos resolver a equação para achar o valor de m.
Observe que temos um quadrado perfeito, portanto não precisamos usar Bháskara:

$m^{2}-4m+4=0\ \Rightarrow \left(m-2\right)^{2}=0\ \Rightarrow \left(m-2\right)\cdot \left(m-2\right)=0\\ \\ m-2=0\ \Rightarrow m=2$


Se usar Bháskara terá o mesmo resultado para m:

$m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\ \Rightarrow m=\dfrac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}\ \Rightarrow\\ \\ \\ m=\dfrac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}\ \Rightarrow m=\dfrac{4\pm\sqrt{0}}{2}\ \Rightarrow m=\dfrac{4\pm 0}{2}\ \Rightarrow m=2$


Agora que temos o valor de m, a função fica assim:

$y=x^{2}-mx+\left(m-1\right)\ \Rightarrow y=x^{2}-2x+\left(2-1\right)\\ \\ y=x^{2}-2x+1$


Vamos determinar o que se pede:

$y=x^{2}-2x+1\\ \\ f\left(0\right)\ +2f\left(-2\right)\ +4f\left(1\right)\\ \\ \to f\left(0\right)=0^{2}-2\cdot 0+1=1\\ \\ \to f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{2}\ -2\cdot \left(-2\right)\ +1=4+4+1=9\\ \\ \to 2f\left(-2\right)=2\cdot 9=18\\ \\ \to f\left(1\right)=1^{2}-2\cdot 1+1=1-2+1=0\\ \\ \to 4f\left(1\right)=4\cdot 0=0$


Portanto,

1 + 18 + 0 = 19