Question

O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m - 1), onde m E(Contido) R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é?

Answer 1

Se tem um único ponto em comum com o eixo X (abcissas), então significa que a parábola tangencia o eixo X. Ou seja, tem as duas raízes iguais. Para que isso aconteça, o Delta da equação de Bhaskara precisa ser nulo:

$\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 0$

Substituindo, a = 1, b = -m e c = (m-1):

$(-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-1) = 0$

$m^2 - 4 \cdot m + 4 = 0$

Caímos em uma equação do 2° grau. Resolvendo por Bhaskara:

$m = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = -4 e c = 4:

$m = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$m = \dfrac{4 \pm \sqrt{16-16}}{2}$

$m = \dfrac{4 \pm \sqrt{0}}{2}$

$m = \dfrac{4 \pm 0}{2}$

$m_1 = m_2 = \dfrac{4}{2}$

$\boxed{m = 2}$

Assim, a função é dada por:

$y = x^2 - 2 \cdot x + 1$

Substituindo x = 2, encontramos a resposta:

$y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 1$

$y = 4 - 4 + 1$

$\boxed{y = 1}$