Question

O gráfico da função f(x) = |x -1|/1-x em R-{1} e a explicação por favor

Answer 1

Uma das formas para se desenhar o gráfico de uma função modular é separar a função em partes.

Como o numerador da função está no modulo, sabemos que seu valor será sempre positivo (ou zero).

Sendo assim, podemos "esquecer" o modulo, reescrevendo o numerador como segue:

$|x-1|\ge0~~\rightarrow~~\left\{\begin{array}{ccc}~~(x-1)&&para~x\ge1\\-(x-1)&&para~x<1\end{array}\right$

Perceba que dessa forma garantimos que o numerador sempre será positivo, no entanto note também que o texto nos diz que "1" não está no domínio de f(x), logo precisamos fazer uma pequena correção:

$\left\{\begin{array}{ccc}~~(x-1)&&para~x>1\\-(x-1)&&para~x<1\end{array}\right$

Substituindo o numerador de volta na função, teremos a função definida em partes por:

$f(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x-1}{1-x}&,&para~x>1\\&&\\\frac{-(x-1)}{1-x}&,&para~x<1\end{array}\right$

Podemos ver que, ignorando os sinais, em ambas as partes de f(x) o numerador e o denominador são iguais, logo podemos fazer uma simplificação:

$f(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x-1}{-(x-1)}&,&para~x>1\\&&\\\frac{-(x-1)}{-(x-1)}&,&para~x<1\end{array}\right\\\\\\\\f(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}-1&,&para~x>1\\&&\\1&,&para~x<1\end{array}\right$

Agora podemos facilmente desenhar o gráfico dessa função (anexo).

Teremos um valor constante em 1 para todo "x" menor que 1 e um valor constante de -1 para todo "x" maior que 1, lembrando que em x=1 a função não está definida.