Question

o grafico da função f (x) =mx²-(m2-3) x + m³ intercepita o eixo x e tem com cavidade voltada para baixo. qual valor de m ?

Answer 1

Com concavidade para baixo temos o coeficiente de grau dois negativo portanto
m < 0 .
Como intercepta o eixo x, a equação do 2⁰ grau associada têm Δ > 0 
como Δ = b² - 4ac temos no caso dado: Δ = (m²-3)² - 4m⁴ > 0
Assim: ((m²-3) - 2m²)((m²-3) + 2m²) > 0 ⇒ (-m²-3)(3m²-3) > 0 agora é necessário o estudo do sinal:  as raízes de  (-m²-3) são +√3 e -√3 como  (-m²-3) tem concavidade para baixo temos que  (-m²-3) é negativo antes de -√3 e depois de +√3 e positivo entre estes valores.
Já o caso (3m²-3) com raízes + 1 e -1 com concavidade para cima é positiva antes de -1 e depois de +1 e negativa entre estes números.
Pòr fim tomamos os sinal do produto, que deve ser positivo: ∞ entre -√3 é negativo e não serve. Entre -√3 e -1 é positivo e serve. entre -1 e 1 é negativo e não serve. entre 1 e +√3 é positivo e serve e finalmente √3 e ∞ não serve por ser negativo...enfim..ufa
Temos que o conjunto solução de m é  m∈  (-√3,-1) U (1,√3)