Question

O gráfico da função f(x)=k⋅a^x é apresentado a seguir.
a) Determine o valor de k e a.


b) Determine o valor de f(3).

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = k \: . \: a {}^{x}$

Para descobrirmos o valor de k, vamos ter que analisar o gráfico fornecido. Primeiro é possível observar que quando x = 1, y = 3 e quando x = 2, y = 9/2. Substituindo essas informações, temos:

• Para x = 1 e y = 3:

$\sf 3 = k \: . \: a {}^{1} \: \: \to \: \: k = \frac{3}{a}$

• Para x = 2 e y = 9/2:

$\sf \frac{9}{2} = k \: . \: a {}^{2} \: \: \to \: \: a {}^{2} = \frac{ \frac{9}{2} }{k} \: \: \to \: \: a {}^{2} = \frac{9}{2} . \frac{1}{k} \\ \\ \sf a {}^{2} = \frac{9}{2k} \: \: \to \: \: a = \frac{3}{ \sqrt{2k} }$

O termo a ficou positivo pois a base é sempre maior que 0 e diferente de 1. Substituindo essa expressão na outra obtida anteriormente:

$\sf k = \frac{3}{ \frac{3}{ \sqrt{2k} } } \: \: \to \: \: k = \frac{3}{1} . \frac{ \sqrt{2k} }{3} \\ \\ \sf k = \sqrt{2k} \: \to \: \: k {}^{2} = 2k \\ \\ \sf k.(k - 2) = 0 \\ \\ \sf k = 0 \: \: ou \: \: k = 2$

Podemos descartar o k = 0, uma vez que se o mesmo possuir o este valor, não teria sentido a expressão, pois tudo geraria f(x) = 0, logo a nossa expressão é dada por:

$\sf f(x) = 2 \: . \: a {}^{x}$

Utilizando o ponto x = 1 e y = 3, temos que:

$\sf 3 = 2 \: . \: a {}^{1} \: \: \to \: \: 3 = 2a \: \to \: a = \frac{3}{2}$

Tendo feito isso, descobrirmos definitivamente a expressão:

$\sf f(x) = 2 \: . \: \left( \frac{3}{2} \right) ^{x}$

Agora vamos calcular f(3), ou seja, basta substituir x = 3, fazendo isso:

$\sf f(3) = 2 \: . \: \left( \frac{3}{2} \right) ^{3} \: \: \to \: \: f(3) = 2 \: . \: \frac{27}{8} \\ \\ \sf \boxed { \sf f(3) = \frac{27}{4} }$

Espero ter ajudado