Question

O gráfico da figura, representa a função y = cos x, no intervalo [0,2 pi] :

Conforme pede abaixo:

Answer 1

Integral: $\int\limits^{2\pi}_0 {cos(x)} \, dx$

Reescrevendo essa integral com três intervalos:
$\int\limits^{2\pi}_0 {cos(x)} \, dx = \int\limits^{\pi/2}_0 {cos(x)} \, dx + \int\limits^{3\pi/2}_{\pi/2} {cos(x)} \, dx + \int\limits^{2\pi}_{3\pi/2} {cos(x)} \, dx$

A integral de cos(x) é sen(x), logo, integrando e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
$\int\limits^{\pi/2}_0 {cos(x)} \, dx = sen(x)\left \right|_{0}^{\pi/2}= sen( \frac{\pi}{2}) -sen(0)= 1 - 0 = 1 \\ \\ \\ \int\limits^{3\pi/2}_{\pi/2} {cos(x)} \, dx = sen(x) \left \right|_{\pi/2}^{3\pi/2}= sen( \frac{3\pi}{2}) - sen( \frac{\pi}{2} )= -1 -1= -2 \\ \\ \\ \int\limits^{2\pi}_{3\pi/2} {cos(x)} \, dx = sen(x) \left \right|_{3\pi/2}^{2\pi}= sen(2\pi)-sen( \frac{3\pi}{2} )= 0 -(-1) = 1$

Toda a área sombreada será a soma dos resultados das integrais acima em módulo:
$A= 1+2+1= 4 \\ \\ \boxed{A= 4 ~uA}$

A integral em um dado intervalo calcula a área líquida, isto é, a área acima do eixo "x" terá valores positivos, e a área abaixo terá valores negativos; o que concorda com o fato da integral de 0 a 2π de cos(x) dx ser zero, pois teremos 2 positivo e 2 negativo, logo será zero.