Question

O gráfico ao lado representa uma função com lei f(x)=2x2+kx+t, sendo k e t números reais. Podemos afirmar que o conjunto imagem dessa função é dado por:

Answer 1

$\sf y = 2x^2+kx+t$

Para achar o conjunto imagem basta isolar o x e achar restrições para y, ou seja :

$\displaystyle \sf2x^2+kx+t-y= 0 \\\\ x = \frac{-k\pm\sqrt{k^2-4\cdot 2\cdot (t-y)}}{2\cdot2} \\\\\\ x = \frac{-k\pm\sqrt{k^2-8t+8y}}{4}$

Para que uma raiz quadrada exista nos reais ela tem que ser maior ou igual a 0, ou seja :

$\displaystyle \sf \sqrt{k^2-8t+8y}\geq0\\\\ k^2-8t+8y\geq 0 \\\\ 8y \geq 8t- k^2 \\\\ y\geq \frac{8t-k^2}{8}$

Portanto o conjunto imagem da função é dado por :

$\displaystyle \boxed{\sf Im = \left\{y\in\mathbb{R}\ |\ y\geq \frac{8t-k^2}{8} \right\}}\checkmark$