Question

O gráfico abaixo representa a função f: R -> R cuja lei é f(x) = a+b.2×, sendo a e b constantes positivas.
a) Determine a e b.
b) Qual é o conjunto imagem de f ?
c) Calcule f(-2).
Obs: não precisa responder todas se não souber.
Agradeço desde já.

Answer 1

a) f(x) = a + b·2ˣ

Observando o gráfico:

Quando x = 0 ; y é igual a 3
Quando x = 1 ;y é igual a 5

Logo :

y = a + b·2ˣ

Aplicando x = 0 (y=3) :

y = a + b·2⁰   -->  3 = a + b·1

Aplicando x = 1 (y=5):

y = a + b·2¹ -->  5 = a + b·2

Logo, agora temos dois sistemas:

5 = a + b·2
3 = a + b·1  (Multiplicando o sistema de baixo por -1) :

5 = a + b·2
-3 = -a - b·1    (Agora somando os dois sistemas) :
----------------
5 - 3 = a - a +2b - b
2 = b ---> b = 2

Então : 5 = a + b·2  -->  5 = a + 2·2 --> a = 1

b) A imagem da função corresponde a todos os números reais maior que zero, pois não tem como a função ser negativa:

f(x) = 1 + 2·2ˣ

Como o número que multiplica a parte exponencial é positivo e o número que soma também, não tem como a função ser negativa e nem igual a zero.

Logo, D[f(x)] =R⁺ - {0} .

c) f(x) = 1 + 2·2ˣ

f(-2) = 1 + 2·2⁻²
f(-2) = 1 + 2· $\frac{1}{ 2^{2} }$
f(-2) = 1 + 2· $\frac{1}{4}$
f(-2) = 1 + $\frac{1}{2}$ 
f(-2) = $\frac{3}{2}$