Question

O gráfico abaixo mostra uma função polinomial do 2º grau. Com base nele, determine:

a) a lei de formação;

b) valores de x para que função seja nula;

c) valores de x para que função seja positiva;

d) valores de x para que a função seja negativa;

e) os valores de x para que a função seja crescente;

f) os valore de x para que a função seja decrescente;

g) ponto de máximo ou mínimo.

Answer 1

Resposta:

a )    f(x) =  x² + 2x  - 3

b)     x = - 3  e x = 1   ( são os valores em x de R1 e R2 )

c )    { x ∈ |R |   x ∈ ( - ∞ ; - 3 }  ou  x ∈ ( 1 ; + ∞ ) }

d )    { x ∈ |R |   x ∈ ( - 3 ; 1) }

e )   { x ∈ |R |   x ∈ ( - 1 ; + ∞) }

f )     { x ∈ |R |   x ∈ ( - ∞ ; - 1 ) }

g )   Vértice (  - 1 ; - 4 )

Explicação passo a passo:

a ) Lei de formação

Equação Geral de uma função 2º grau

f (x) = ax² + bx + c     com a ≠ 0

Quando se conhecem as raízes de uma função do 2º grau podemos

encontrar sua lei de formação usando a seguinte expressão geral:

a * ( x - uma raiz ) * ( x - a outra raiz )

Aqui fica

a * ( x - ( - 3 )) * ( x - 1 )

a * ( x + 3 ) * ( x - 1 )

a * ( x*x - 1 * x + 3 * x - 1 * 3 )

a * ( x² + 2x  - 3 )

Para calcular o "a" vamos usar as coordenadas do ponto de interseção

( cruzamento ) com eixo do y , que é ( 0 ; - 3 )

a * ( 0² + 2 * 0  - 3 ) = - 3

a * ( - 3 ) = -3

dividindo tudo por " - 3 "

- 3a / ( -3 ) = - 3 / ( - 3 )

a = 1

1 * ( x² + 2x  - 3 )

Lei de formação →    f(x) =  x² + 2x  - 3

b)

x = - 3  e x = 1   ( são os valores em x de R1 e R2 )

c )

Dizer que uma função tem valores positivos, quer dizer quais os valores

de x que fazem com que os valores em y sejam positivos.

Ou seja, os valores de x para os quais o gráfico está acima do eixo do x.

{ x ∈ |R |   x ∈ ( - ∞ ; - 3 }  ou  x ∈ ( 1 ; + ∞ ) }

d )

Dizer que uma função tem valores negativos, quer dizer quais os valores

de x que fazem com que os valores em y sejam negativos.

Ou seja, os valores de x para os quais o gráfico está abaixo do eixo do x.

{ x ∈ |R |   x ∈ ( - 3 ; 1 ) }

e )

A partir do valor em x do Vértice , para a direita do gráfico

{ x ∈ |R |   x ∈ ( - 1 ; + ∞) }

f )

Olhando da parte esquerda do gráfico até chegar ao vértice

{ x ∈ |R |   x ∈ ( - ∞ ; - 1 ) }

g)

O valor máximo (ou mínimo) numa parábola é sempre a coordenada

em y do vértice.

Quando a parábola está com a curvatura virada para cima ( em forma de

U ), existe um mínimo na coordenada em y do vértice

O ponto mínimo é o Vértice

Observação 1 → Coordenadas do vértice

Tenho estando a falar do vértice pela leitura do gráfico em anexo 1.

Mas é calculável.

Existe uma pequena fórmula para o cálculo das coordenadas do vértice.

V ( - b / 2a  ;  - Δ / 4a )

f (x) =  x² + 2x  - 3

a =   1

b =   2

c = - 3

Δ = b² - 4 * a * c = 2² - 4 * 1 * ( - 3 ) = 4 + 12 = 16  

Coordenada em x do Vértice

x = - 2 / ( 2 * 1 ) = - 2 / 2 = - 1

Coordenada em y do Vértice

y = - 16 / (4 * 1 )  = - 16 / 4 =  - 4

Vértice (  - 1 ; - 4 ) , ponto mínimo desta função

Observação 2 → Dados do anexo 1

→  Representação gráfica da função

→  Pontos de interseção com eixo x ( R1 e R2  as raízes são as coordenadas em x destes dois pontos )

→  Ponto interseção com eixo do y   ( IY )

→  Vértice V = ( - 1 ; - 4 )

Observação 3 → Sinal "menos" antes de parêntesis

Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem,

mudam seu sinal.

Exemplo

- ( - 3 ) = + 3

Bons estudos.

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( * ) multiplicação     ( / ) divisão     ( ∈ ) pertence a     ( ∞ ) infinito

( | ) tal que      ( ≠ )  diferente de

( | R ) conjunto dos números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.