O gráfico a seguir representa o polinômio g(x) = ax^3 - 11/6x^2 + bx - c. Quais são os valores de a, b e c?
Soluções para a tarefa
Popeye, vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento ( ou seja, havíamos feito tudo passo a passo.Mas o sistema Brainly informou que eu tinha ultrapassado o número mínimo de caracteres, e, assim, não podia enviar a resposta. Por isso, tentamos reduzir ao máximo esse nosso passo a passo). Então vamos lá: temos:
g(x) = ax³ - (11x²/6) + bx - c . Note que o gráfico da função corta o eixo dos "x" nos seguintes pontos: "-2/3", "1" e "3/2". Ou seja temos que: g(-2/3) = 0; g(1) = 0; e g(3/2) = 0 --- Tudo isso significa o seguinte: quando "x" for igual a "-2/3" , o g(x) será igual a zero; e a mesma coisa vale para g(1) e g(3/2), ou seja, sempre que o "x" for um desses dois últimos números, o g(x) também será zero. Assim, teremos:
i) Para x = -2/3, substituiremos "x" por esse valor e igualaremos g(x) a zero. Assim, teremos (fizemos todos os cálculos. Mas no fim, como deu a resposta grande demais, o Brainly não enviou a minha resposta, informando que tinha que reduzir. Então já vou colocar a expressão que ficou após substituirmos o "x' por "-2/3", por "1" e por "3/2"). Assim, teremos:
a*(-2/3)³ + 11*(-2/3)²/6) + b*(-2/3) - c = 0 ---- após fazermos todo o desenvolvimento, ficamos, no fim, com:
- 8a - 18b - 27c = 22 . (I)
ii) Para x = 1, substituiremos "x" por esse valor e igualaremos g(x)
a zero. Assim, teremos (pelo mesmo motivo alegado aí em cima, faremos a substituição e já colocaremos a expressão resultante após havermos procedido a devida substituição):
a*1³ - 11*1²/6 + b*1 - c = 0 ----- desenvolvendo, ficaremos, no fim, com:
6a + 6b - 6c = 11 . (II)
iii) Para x = 3/2, substituiremos "x" por esse valor e igualaremos
g(x) a zero. Assim, teremos (pelo mesmo motivo alegado anteriormente, faremos a substituição e já
colocaremos a expressão resultante após havermos procedido a devida
substituição):
a*(3/2)³ - (11*(3/2)²/6) + b*(3/2) - c = 0 ---- após fazermos todo o desenvolvimento, ficaremos, no fim, com:
27a + 12b - 8c = 33 . (III)
iv) Agora veja que ficamos com um sistema de 3 equações e 3 incógnitas que são
estes:
- 8a - 18b - 27c = 22 (I); 6a + 6b - 6c = 11
(II); 27a + 12b - 8c = 33 (III)
v) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por
"3" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão
(I). Fazendo isso, ficaremos assim:
-8a - 18b - 27c = 22--- [esta é a expressão (I) normal]
18a + 18b - 18c = 33 --------- [esta é a expressão (II) multiplicada por "3"]
-------------------------------- somando membro a membro, teremos:
10a + 0 - 45c = 55-- ou,o que é a mesma coisa:
10a - 45c = 55 . (IV)
vi) Agora faremos o seguinte, multiplicaremos a expressão (II) por (-2) e, em
seguida, somaremos também com a expressão (III). Assim, teremos:
-12a - 12b + 12c = - 22 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por
"-2"]
27a + 12b - 8c = 33 ------- [esta é a expressão (III) normal]
---------------------------------- somando membro a membro, teremos:
15a + 0 + 4c = 11 --- ou apenas:
15a + 4c = 11 . (V).
vii) Agora veja que ficamos com mais dois sistemas com duas equações e
duas incógnitas, que são as expressões (IV) e (V) e que são estas:
10a - 45c = 55 (IV); e 15a + 4c = 11 (V).
-30a+135c = -165 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-3"]
30a + 8c = 22 ------- [esta é a expressão (V) multiplicada por "2"]
-------------------------- somando membro a membro, temos:
0 + 143c = -143 --- ou apenas:
143c = - 143 --- isolando "c", teremos:
c = -143/143 ---> c = -1 <--- Este é o valor de "c".
viii) Agora, para encontrar o valor de "a" vamos em uma das duas últimas expressões [ou na (IV) ou na (V)]. Vamos na expressão (V), que é esta:
15a + 4c = 11 ----- substituindo-se "c" por "-1", teremos:
15a + 4*(-1) = 11 ---> 15a-4 = 11 ---> 15a = 11+4 ---> 15a = 15 ---> a = 15/15 ---> a = 1 <-- Este é o valor de "a".
ix) Finalmente, como já temos os valores de "a" (a = 1) e de "c" (c = -1), vamos encontrar o valor de "b". E, para isso, vamos em quaisquer uma das três primeiras expressões.. Vamos na (II) que é a de mais fácil operacionalização, pois só há números "pequenos". A expressão (II) é esta:
6a + 6b - 6c = 11 --- substituindo-se "a" por "1" e "c' por "-1", teremos:
6*1 + 6b - 6*(-1) = 11 ---> 6+6b+6 = 11 ---> 6b+12 = 11 ---> 6b = 11-12 ---> 6b = -1 ---> b = -1/6 <--- Este é o valor de "b"..
.
x) Assim, resumindo, temos que os valores de "a", "b" e "c" serão estes:
a = 1; b = -1/6; c = - 1 <--- Esta é a resposta.
É isso aí. Deu pra entender bem? Ufa, ufa.
OK?
Adjemir.