Question

O gradiente da função f(x,y) = y2 + cos (x) no ponto (π/2,2) é: Escolha uma opção: a. (1, 4) b. (-1, -4) c. (1, -4) d. (1, 2) e. (-1, 4)?

Answer 1

Resposta:

Letra (e), (-1, 4).

Explicação:

O gradiente de uma função escalar é definido como:

$\nabla f(x,y) = \hat{\imath} \frac{\partial f}{\partial x} + \hat{\jmath} \frac{\partial f}{\partial y}$

Calculando as derivadas parciais, temos:

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\mathrm{sen}(x)\\\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

Assim, o gradiente fica:

$\nabla f(x,y) = -\mathrm{sen}(x)\hat{\imath} + 2y\hat{\jmath}$

Substituindo o ponto dado, ou seja, $(x_0, y_0) = (\pi/2, 2)$,

$\nabla f(\pi/2, 2) = -\mathrm{sen}(\pi/2)\hat{\imath} + 2^2\hat{\jmath}\\\nabla f(\pi/2, 2) = -1\hat{\imath} + 4\hat{\jmath}$,

que é a resposta, ou seja,

$(-1,4)$.

O que significa este resultado? Significa que na superfície z = f(x,y), se você olhar no plano xy o ponto $(x_0, y_0) = (\pi/2, 2)$, o vetor (-1, 4) te mostra qual é a direção de maior variação da superfície naquele ponto.