Question

O gosto azedo do leite degradado se deve a presença de ácidos liberados por alguns tipos de microrganismos, mas que só é percebido quando a população microbiana alcança uma concentração elevada. O crescimento da população microbiana depende de muitos fatores, como temperatura, presença de oxigênio, tipo de alimento, umidade e outros. Vamos estabelecer um caso em que a contaminação inicial do leite tenha ocorrido com 1000 bactérias para 1 litro, e em que a proliferação delas ocorra de tal forma que sua quantidade no leite dobre em número a cada hora que se passa. Quantas bactérias existirão no leite após 1 dia (24h)? Por quanto tempo este leite pode ser armazenado, supondo que o sabor azedo seja percebido quando a contaminação ultrapassa 100 milhões de bactérias por mililitro? Dica: 〖1000∙2〗^n/1000=2^n

Answer 1

Após 24 horas teremos 1,68 x $10^{10}$ bactérias e o leite pode ser armazenado por 26 horas antes de sentirmos o gosto de azedo.

Temos que 1 L leite foi contaminado com 1.000 bactérias e que essa quantidade dobra a cada 1 hora. Assim, teremos:

• Primeira hora: 1.000 x 2 = 2.000 bactérias;
• Segunda hora: 2.000 x 2 = 1.000 x 2² = 4.000 bactérias;
• Terceira hora: 4.000 x 2 = 1.000 x 2³ = 8.000 bactérias.

Logo, o número de bactérias após x horas será dado por 1.000 x $2^{x}$. Assim, em 24 horas teremos:

1.000 x $2^{24}$ = 1,68 x $10^{10}$ bactérias

Temos que 1 L de leite tem 1.000 mililitros. Assim, o número total de bactérias nesse 1 L de leite para sentirmos o gosto de azedo deve ser de:

100.000.000/mL x 1000 mL/L = 100.000.000.000 bactérias

Para termos isso, será necessário:

1.000 x $2^{x}$ = 100.000.000.000

$2^{x}$ = 100.000.000 (Aplicando log em ambos os lados)

x = log(100.000.000) ÷ log(2)

x = 26,6 horas

Espero ter ajudado!