Question

O gerente de uma fábrica de eletrodomésticos observa que o número de batedeiras vendidas no mês por P reais cada uma pode ser modelada pela função :
D(p) = 8000/p
O gerente estima que daqui T meses o preço de uma batedeira será P(t) =0,06t^3/2+22,5 reais .C que taxa a demanda mensal de batedeiras D(p) estará varianda daqui 25meses ?
A taxa estará diminuindo ou aumentando ?

Answer 1

Olá!
  
  A quantidade de peças é dada por uma função do preço. Ou seja, depende do preço que por sua vez depende do tempo. Podemos reescrevê-la assim:
$D(p)=\dfrac{8.000}{p(t)}$

onde $p(t) = 0,06t^{\frac{3}{2}}+22,5$ .

A taxa de variação procurada é a derivada da função D(p), que já vimos se tratar de uma função composta. Logo deveremos utilizar a regra da cadeia. 

Primeiro observe que $p'(t)=\dfrac{3}{2}\cdot 0,06t^{\frac{1}{2}}$

Segue que

$D'(p)=-\dfrac{8.000}{[p(t)]^2}\cdot p'(t) = -\dfrac{8.000}{[p(t)]^2}\cdot \dfrac{3}{2} \cdot 0,06t^{\frac{1}{2}}$

Aplicando essa função D'(p) em p = 25, temos:

$D'(25)=-\dfrac{8.000}{[p(25)]^2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot 0,06\cdot 25^{\frac{1}{2}} = \\ \\ \\ = -\dfrac{8.000}{30^2}\cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{6}{100}\cdot 5 = -\dfrac{80}{9}\cdot 3 \cdot \dfrac{3}{20} = -\dfrac{80}{20}=-4$

Portanto, a taxa de variação é $-4$   e ela estará diminuindo (pois é negativa).

Bons estudos!