Question

O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares, onde P(t) = 6t2 + 5t/(t + 1)2. O que acontece com a produção a longo prazo (ou seja, para t tendendo ao infinito)?

Answer 1

A função P é igual a $P(t) =\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}$.

Queremos calcular o valor do seguinte limite:

$\lim_{t \to \infty} \frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}$.

Primeiramente, temos que:

$\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2} =\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1}$

Para calcular o limite tendendo ao infinito, precisamos colocar o maior grau em evidência no numerador e denominador.

Tanto no numerador quanto no denominador o maior grau é 2.

Assim,

$\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1} =\frac{t^2(6+\frac{5}{t})}{t^2(1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2})}$

Logo,

$\lim_{t \to \infty} \frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1} = \lim_{t \to \infty} \frac{6+\frac{5}{t}}{1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}} =\frac{6}{1} = 6$

Portanto, a produção será máxima quando P = 6 000 unidades.