Question

O futebol é um esporte em que há mistura de velocidade, potência, resistência e mudanças rápidas de direção. Essas mudanças são responsáveis por um elevado número de lesões nos jogadores. Assim, um jogador chuta uma bola, a partir do solo plano horizontal com velocidade de 108,0km/h, formando um ângulo de 37°.Considerando-se a aceleração da gravidade local igual a 10m/s², sen37° e cos37° iguais, respectivamente, a 0,6 e 0,8, é correto afirmar que a bola atingiu novamente o solo a uma distância do ponto que foi lançada, em m, igual a

93,9
97,2
86,4
72,5
78,4

Answer 1

Resposta:

86,4 m

Explicação:

• O desenho acima demonstra o sistema ( bola, plano horizontal e seu vetor velocidade inicial). E o diagrama de corpo livre nos demonstra que à partir do início de um lançamente oblíquo, o vetor velocidade inicial V(0) passa a possuir componente vertical V(0)Y e horizontal V(0)X, os quais são independentes.

Para calcularmos qual à distância percorrida pela bola do ponto inicial de onde foi deslocada até o ponto final onde a mesma "caiu", podemos utilizar de algumas equações :

• Percebe-se pela disposicão geométrica dos vetores velocidade que :

$v(0)y = v(0) \times \sin(37</em><em>°</em><em>) \\ v(0)x = v(0) \times \cos(37</em><em>°</em><em>)$

logo podemos calcular qual a velocidade inicial das componentes.

$v(0)y = 30 \times 0.6 = 18 \: m</em><em>/</em><em>s \\ v(0)x = 30 \times 0.8 = 24 \: m</em><em>/</em><em>s$

• Em um lançamento oblíquo desprezando-se a resistência do ar, temos que a única velocidade que sofre alteração é a do eixo Y, já que a aceleração gravitacional atua em tal eixo. Sendo assim podemos disponibilizar de equações da posição em função do tempo para ambos os eixos.

Para Y :

$y = y(0) \times v(0)y \times t + \frac{ - g \times {t}^{2} }{2} \\ y = 18 \times t - \frac{10 \times {t}^{2} }{2} \\ y = 18 \times t - 5 \times {t}^{2}$

Para X :

$x = x(0) + v(0)x \times t \\ x = 24 \times t$

• Considerando que a posição inicial de lançamento é nula, logo X(0) = 0 e Y(0) = 0 .

A distância percorrida pela bola no eixo X ( x ) levou um certo tempo t , e a altura da bola neste tempo em que ela toca novamente o chão é 0. Assim podemos calcular quanto tempo levou para a bola tocar o chão :

$0 = 18 \times t - 5 \times {t}^{2} \\ 5 \times {t}^{2} - 18 \times t = 0 \\ t = - b + \frac{ \sqrt{ {b}^{2} - 4 \times a \times c } }{2 \times a} \\ t = 18 + \frac{ \sqrt{256} }{10} \\ t = \frac{18 + 18}{10} \\ t = \frac{36}{10} \\ t = 3.6s$

• Com este valor podemos calcular a distância x percorrida :

$x = 24 \times 3.6 \\ x = 86.4m$

esta é a distância percorrida pela bola em relacão ao plano horizontal até tocar o solo.