Question

o fragmento de texto a seguir: "No método de integração por partes, tem-se que ∫ u d v = u v − ∫ v d u , ∫udv=uv−∫vdu, sendo u u e v v funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I = ∫ l n ( x ) d x . I=∫ln(x)dx. " Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155. (LIVRO-BASE p. 155) De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral I I vale: A x ( l n ( x ) − x ) + c . x(ln(x)−x)+c. B x ( l n ( x ) + 1 ) + c .

Answer 1

Sendo $\int\ {ln(x)} \, dx$, podemos integrar por partes.

Para isso considere que:

u = ln(x) ⇒ $du = \frac{1}{x}dx$

dv = dx ⇒ v = x

Utilizando a fórmula dada no enunciado, temos que:

$\int\ {ln(x)} \, dx = xln(x) - \int\ {x.\frac{1}{x}} \, dx$

$\int\ {ln(x)} \, dx = xln(x) - \int\ \, dx$

$\int\ {ln(x)} \, dx = xln(x) - x$

Perceba que podemos colocar o x em evidência.

Portanto,

$\int\ {ln(x)} \, dx = x(ln(x) - 1)$

Como a integral não é definida, pois não possui limites de integração, então temos que somar uma constante no resultado:

$\int\ {ln(x)} \, dx = x(ln(x)-1) + c$