Question

O fólio de Descartes é representado pela expressão x3+y3=6xy. Encontre dydx

Answer 1

$3 {x}^{2} + 3 {y}^{2} \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \frac{dy}{dx}$
$3 {x}^{2} - 6y = 6x \frac{dy}{dx} - 3 {y}^{2} \frac{dy}{dx}$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 {x}^{2} - 6y}{6x - 3 {y}^{2} }$
O que equivale:
$\frac{dy}{dx} = \frac{ {x}^{2} - 2y }{2x - {y}^{2} }$

Answer 2

✅ Após finalizar os cálculos, concluímos que a derivada implícita mais geral da curva x³ + y³ = 6xy (fólio de Descartes) é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Para fins de agilidade na escrita dos cálculos, vamos fazer:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{dy}{dx} = y'\end{gathered}$

Calculando a derivada implícita mais geral da curva fólio de Descartes:

    $\Large \text { \begin{aligned}(x^{3} + y^{3})' & = (6xy)'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 6\cdot x^{0}\cdot y + 6x\cdot y^{0}\,y'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 6\cdot1\cdot y + 6x\cdot1\,y'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 6y + 6x\,y'\\3y^{2}\,y' - 6x\,y' & = 6y - 3x^{2}\\(3y^{2} - 6x)\,y' & = 6y - 3x^{2}\\y' & = \frac{6y - 3x^{2}}{3y^{2} - 6x}\\y' & = \frac{3\cdot(2y - x^{2})}{3\cdot(y^{2} - 2x)}\\y' & = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\end{aligned} }$

✅ Portanto, a derivada implícita mais geral de "f" em termos de "x" é:

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y' = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\end{gathered} }$  

         

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$