Question

O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada. Então, para a equação diferencial 2y' + y = 1 (ou seja, o dobro da derivada primeira somada com a própria função é igual a 2), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
a) V - V - F - V.
b) F - F - V - F.
c) V - F - V - F.
d) F - V - F - V.

Answer 1

Resposta:

b) F F V F

Explicação passo-a-passo:

2y' + y = 1

y' = (1 - y)/2

Método da separação das variáveis

1/(1-y) dy=1/2 dx

Substituição simples

m = 1 - y

dm = -1 dy

-1/m dm = 1/2 dx

Integrando ambos os lados e retornando pra variável y

- ln(1-y) = x/2 + C

Aplicando as propriedades dos logaritmos (elevar o neperiano em ambos os lados).

(1 - y)^(-1) = e^(x/2 + C)

1/(1 - y) = e^(x/2) + e^C

1/(1 - y) = e^(x/2) + K

1y = - [e^(x/2) + K]^(-1) + 1

Admitindo K = 0,

1y = - [e^(x/2) + K]^(-1) + 1

y = - e^(-x/2) + 1