Question

O estudo das funções está relacionado com muitas aplicações práticas, como é o caso dos movimentos oblíquos. O movimento oblíquo ocorre quando um objeto é lançado a partir de um determinado ângulo com a horizontal, podendo ser decomposto em dois movimentos independentes: um na vertical que consiste em um movimento de queda livre quando a força de resistência do ar pode ser desprezível e outro movimento na horizontal que consiste em um movimento uniforme cuja componente da velocidade permanece constante. A componente vertical da velocidade varia de acordo com a aceleração da gravidade, sendo que o módulo da velocidade diminui durante a subida até ser atingida a altura máxima e na sequência o módulo da velocidade volta a aumentar durante a descida. Dentre esses movimentos, podemos citar: a queda de um objeto de um avião em movimento, a trajetória descrita pela água em um chafariz ou de uma bola em uma cobrança de arremesso livre em um jogo de basquete.

A partir desse contexto, considere uma bola chutada obliquamente a partir do solo no instante em que é acionado um cronômetro (t = 0), que a altura da bola (h) em função do tempo (t) varia de acordo com a função h(t) = 10.t – 5.t2, onde h está em metros (m) e t em segundos (s) e sabendo que a bola retorna ao solo, faça o que se pede nos comandos a seguir:

a) Em qual instante de tempo a bola atingiu a altura máxima após o lançamento?
b) Qual é o valor da altura máxima atingida pela bola?
c) Determine o conjunto Domínio e o conjunto Imagem para a função que representa esse movimento.

Answer 1

A bola atingiu a altura máxima em 1 segundo. A altura máxima atingida pela bola é de 5 metros. O domínio é o conjunto [0,2] e a imagem é o conjunto [0,5].

a) Observe que a função h(t) = 10t - 5t² é uma função do segundo grau.

Então, para determinarmos o instante de tempo que a bola atingiu a altura máxima após o lançamento, temos que calcular o x do vértice.

O x do vértice da parábola é definido por: $xv=-\frac{b}{2a}$.

Da função, temos que a = -5 e b = 10.

Logo,

xv = -10/2.(-5)

xv = 10/10

xv = 1.

Ou seja, após 1 segundo a bola atinge a altura máxima.

b) A altura máxima será definida pelo y do vértice: $yv=-\frac{\Delta}{4a}$.

Temos que:

Δ = 10² - 4.(-5).0

Δ = 100.

Portanto,

yv = -100/4.(-5)

yv = 100/20

yv = 5.

Ou seja, a altura máxima atingida é de 5 metros.

c) Igualando a função a 0, obtemos:

10t - 5t² = 0

5t(2 - t) = 0

t = 0 ou t = 2.

Isso quer dizer que o domínio da função é igual ao conjunto [0,2].

A imagem da função vai de 0 até a altura máxima, ou seja, [0,5].