O estado fundamental Y0 de uma partícula em um poço de potencial infinito de largura L em uma dimensão é dado por Acos(π x /L) , para | x | ≤ L /2 , e zero se | x | > L /2 .
Determine o valor da constante A de normalização.
No problema anterior, determine a probabilidade de a partícula ser encontrada no intervalo [0,L 4].
Ainda no problema anterior, determine a energia cinética da partícula no estado fundamental.
Soluções para a tarefa
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Normalizando a função de onda f(x):
![\int\limits^{\infty}_{-\infty} {f^{2}(x)} \, dx = 1\\ \int\limits^{\infty}_{-\infty} {A^{2}cos^{2}( \frac{\pi x}{L} )} \, dx = 1\\ A^{2}\int\limits^{L/2}_{-L/2} {cos^{2}( \frac{\pi x}{L} )} \, dx = 1\\ \frac{A^{2}}{2}\int\limits^{L/2}_{-L/2} {1+cos(\frac{2\pi x}{L} )} \, dx = 1\\ \frac{A^{2}}{2} \{[ \frac{L}{2}- \frac{-L}{2}]+[ \frac{L}{2\pi}sin( \frac{2\pi \frac{L}{2} }{L}) \ - \ \frac{L}{2\pi}sin( \frac{2\pi \frac{-L}{2} }{L}) ]\}= 1\\ \frac{A^{2}}{2} L= 1 \\ A = \sqrt{ \frac{2}{L}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7D+%7Bf%5E%7B2%7D%28x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+1%5C%5C+%5Cint%5Climits%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7D+%7BA%5E%7B2%7Dcos%5E%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B%5Cpi+x%7D%7BL%7D+%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+1%5C%5C+A%5E%7B2%7D%5Cint%5Climits%5E%7BL%2F2%7D_%7B-L%2F2%7D+%7Bcos%5E%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B%5Cpi+x%7D%7BL%7D+%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+1%5C%5C+%5Cfrac%7BA%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Cint%5Climits%5E%7BL%2F2%7D_%7B-L%2F2%7D+%7B1%2Bcos%28%5Cfrac%7B2%5Cpi+x%7D%7BL%7D+%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+1%5C%5C+%5Cfrac%7BA%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%5C%7B%5B+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D-+%5Cfrac%7B-L%7D%7B2%7D%5D%2B%5B+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%5Cpi%7Dsin%28+%5Cfrac%7B2%5Cpi+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D+%7D%7BL%7D%29+%5C+-+%5C+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%5Cpi%7Dsin%28+%5Cfrac%7B2%5Cpi+%5Cfrac%7B-L%7D%7B2%7D+%7D%7BL%7D%29+%5D%5C%7D%3D+1%5C%5C+%5Cfrac%7BA%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+L%3D+1+%5C%5C+A+%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B2%7D%7BL%7D%7D "\int\limits^{\infty}_{-\infty} {f^{2}(x)} \, dx = 1\\ \int\limits^{\infty}_{-\infty} {A^{2}cos^{2}( \frac{\pi x}{L} )} \, dx = 1\\ A^{2}\int\limits^{L/2}_{-L/2} {cos^{2}( \frac{\pi x}{L} )} \, dx = 1\\ \frac{A^{2}}{2}\int\limits^{L/2}_{-L/2} {1+cos(\frac{2\pi x}{L} )} \, dx = 1\\ \frac{A^{2}}{2} \{[ \frac{L}{2}- \frac{-L}{2}]+[ \frac{L}{2\pi}sin( \frac{2\pi \frac{L}{2} }{L}) \ - \ \frac{L}{2\pi}sin( \frac{2\pi \frac{-L}{2} }{L}) ]\}= 1\\ \frac{A^{2}}{2} L= 1 \\ A = \sqrt{ \frac{2}{L}}")
Pra encontrar a probabilidade de ser encontrada no intervalo [0,L/4] é só realizar a integral de 0 a L/4 da função de onda lembrando de substituir a constante de normalização encontrada no item anterior. E sobre a energia cinética, infelizmente não me recordo dos passos para se chegar na fórmula da energia e nem da própria fórmula. Essa ficarei devendo.
Pra encontrar a probabilidade de ser encontrada no intervalo [0,L/4] é só realizar a integral de 0 a L/4 da função de onda lembrando de substituir a constante de normalização encontrada no item anterior. E sobre a energia cinética, infelizmente não me recordo dos passos para se chegar na fórmula da energia e nem da própria fórmula. Essa ficarei devendo.
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