Question

O esquema a seguir represente parte da fazenda de Pedro. Ele se encontra a 2km de uma cerca m, no ponto P de um pasto, e precisa verificar a eletrificação da cerca, que forma parte dos limites retilíneo do pasto, e depois irá vistoriar um reservatório de água localizado no ponto Q, localizado a 1km da cerca. Determine o ponto X da cerca m no qual ele deve checar o seu funcionamento de modo que seu percurso, poligonal PXQ, seja o menor possível. Precisamente, considerando a projeção ortogonal de P sobre a cerca, o ponto A, determine a distância AX e o percurso total PX+XQ.

Answer 1

Os triângulos retângulos ΔAPX e ΔCQX são semelhantes.

Sendo assim, utilizando a semelhança de triângulos:

$\frac{AP}{AX}=\frac{CQ}{XC}$

Como AX = 4 - XC, então:

$\frac{2}{4-XC}=\frac{1}{XC}$

2XC = 4 - XC

3XC = 4

$XC=\frac{4}{3}$

Assim, ∴ $AX=4-\frac{4}{3}$∴$AX=\frac{8}{3}$

Para calcular as medidas PX e QX utilizaremos o Teorema de Pitágoras, ou seja,

$PX^{2}=2^{2}+(\frac{8}{3})^{2}\\\\PX^{2}=4+\frac{64}{9} \\\\PX^{2}=\frac{100}{9}\\\\PX=\frac{10}{3}$

e

$QX^{2}=1{^2}+(\frac{4}{3})^{2}\\\\ QX^{2}=1+\frac{16}{9}\\\\ QX^{2}=\frac{5}{3}.$

Portanto, o percurso total PX + XQ é igual a:

PX + XQ = 5 km

Answer 2

Considerando o ponto Q' simétrico de Q em relação a reta m (cerca) temos a distância mínima é dada por PQ' e, além disso,

X é a interseção de PQ' com m (solução do caminho mínimo). Assim, temos o esquema acima no qual PDQ'

é um triângulo retângulo de catetoS:

PD = PA + AD = PA + CQ' = 2 + 1 = 3  

e

DQ' = AC = 4 .

Logo, pelo Teorema de Pitágoras a hipotenusa PQ' mede 5 km.

Por outro lado, os triângulos PAX e Q'XC são semelhantes sendo Q'XC congruente ao triângulo QXC. Portanto, vale as igualdades

AX/2 = CX/1,

Donde 4 = AC = AX + CX = AX + AX/2 = 3AX/2, ou seja, AX = 8/3 km.