Question

O esquema a seguir representa parte da Fazenda de Pedro. Ele se encontra a 2 km de uma cerca m, no ponto P de um pasto, e precisa verificar a eletrificação da cerca , que forma parte dos limites retilíneo do pasto, e depois irá vistoriar um reservatório de água localizado no ponto Q ,localizado a 1 km da cerca.Determine o ponto X da cerca m no qual ele deve checar o seu funcionamento de modo que seu percurso ,poligonal PXQ, seja o menor possível. Precisamente , considerando a projeção ortogonal de P sobre a cerca ,o ponto A , determine a distancia AX e o percurso total PX + XQ.

Answer 1

Bom dia

Vamos resolver o problema usando a geometria analítica.

Usando o plano cartesiano temos a figura onde ponto Q' é simétrico de Q em

relação ao eixo ox.

Usando a equação da reta que passa por dois pontos A e B

$\dfrac{x-x_{A}}{y-y_{A}} = \dfrac{x-x_{B}}{y-y_{B}}$

Podemos escrever a equação da reta PQ' [ P(0,2) e Q'(4,-1) ]

$\dfrac{x-0}{y-2} =\dfrac{x-4}{y-(-1)} \Rightarrow \dfrac{x}{y-2} =\dfrac{x-4}{y+1}\\ \\ \\ x(y+1)=(y+2)(x-4)\Rightarrow xy+x=xy-4y-2x-8\\ \\ \\ \boxed{3x+4y-8=0}$

Fazendo y=0 obtemos o valor de X

$y=0\Rightarrow 3x+4*0-8=0\Rightarrow 3x=8 \Rightarrow \boxed{x=\frac{8}{3}}$

A distância AX é 8/3 de km

PX+XQ =PX+XQ' que a distância de P a Q'

$d_{PQ'}=\sqrt{(4-0)^{2}+(-1-2)^{2}} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =<strong>\boxed{5km}$

Como sabemos , a menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une , então o caminho mais curto entre P e Q' é o segmento PQ' que tem a mesma medida da poligonal PXQ ou seja 5km