Question

O esquema a seguir representa parte da fazenda de pedro. Ele se encontra a 2 km de uma cerca m, no ponto P de um pasto, e precisa verificar a eletrificação da cerca, que forma parte dos limites retilíneo do pasto, e depois irá vistoriar um reservatório de água localizado no ponto Q, localizado a 1 km da cerca. Determine o ponto X da cerca m no qual ele deve checar o seu funcionamento de modo que seu percurso, poligonal PQX, seja o menor possível. Precisamente, considerando a projeção ortogonal de P sobre a cerca, o ponto A, determine a distância AX e o percurso total e o percurso total PX + XQ.

Answer 1

Os triângulos retângulos ΔAPX e ΔCQX são semelhantes.

Sendo assim, utilizando a semelhança de triângulos:

$\frac{AP}{AX}= \frac{CQ}{XC}$

Como AX = 4 - XC, então:

$\frac{2}{4-XC} = \frac{1}{XC}$

2XC = 4 - XC

3XC = 4

$XC = \frac{4}{3}$

Assim, $AX = 4- \frac{4}{3}$ ∴ $AX = \frac{8}{3}$

Para calcular as medidas PX e QX utilizaremos o Teorema de Pitágoras, ou seja,

$PX^2 = 2^2 + (\frac{8}{3})^2$

$PX^2 = 4 + \frac{64}{9}$

$PX^2 = \frac{100}{9}$

$PX = \frac{10}{3}$

e

$QX^2 = 1^2 + (\frac{4}{3})^2$

$QX^2 = 1 + \frac{16}{9}$

$QX^2 = \frac{25}{9}$

$QX = \frac{5}{3}$

Portanto, o percurso total PX + XQ é igual a:

$PX + XQ = \frac{10}{3}+ \frac{5}{3}$

PX + XQ = 5 km