Question

O esboço do gráfico que melhor representa a função do 2o grau definida por y = x2-x-1 é:

Answer 1

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Construir o gráfico da função do 2º grau, cuja lei é


$\mathsf{y=x^2-x-1}$


(o gráfico segue em anexo)


•   Interseção com o eixo y:

Fazendo x = 0, encontramos

$\mathsf{y=0^2-0-1}\\\\ \mathsf{y=-1}\qquad\quad\checkmark$


O gráfico interseciona o eixo $\mathsf{y}$ no ponto $\mathsf{(0,\,-1).}$


•   Interseções com o eixo x (raízes da função):

Fazendo y = 0,

$\mathsf{x^2-x-1=0}\quad\rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-1}\\\mathsf{c=-1} \end{array} \right.\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}\\\\ \mathsf{\Delta=1+4}\\\\ \mathsf{\Delta=5}$


$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{5}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$


$\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} \end{array}$


As raízes da função são 

$\mathsf{x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}~~\textsf{ e }~~\mathsf{x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\qquad\quad\checkmark$


O gráfico interseciona o eixo $\mathsf{x}$ nos pontos $\mathsf{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\,0\right)}$  e  $\mathsf{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\,0\right).}$


•   As coordenadas do vértice $\mathbf{(x_V,\,y_V)}:$

$\mathsf{x_V=-\,\dfrac{b}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x_V=-\,\dfrac{(-1)}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{x_V=\dfrac{1}{2}}\qquad\quad\checkmark$


$\mathsf{y_V=-\,\dfrac{\Delta}{2a}}\\\\\\ \mathsf{y_V=-\,\dfrac{5}{4\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{y_V=-\,\dfrac{5}{4}}\qquad\quad\checkmark$


O vértice é o ponto $\mathsf{\left(\frac{1}{2},\,-\,\frac{5}{4} \right ).}$


Como o coeficiente $\mathsf{a=2>0}$ (positivo), o gráfico da função é uma parábola com concavidade voltada para cima e assume um valor mínimo quando $\mathsf{x=x_V=\frac{1}{2}.}$


•   Calculando o valor da função quando $\mathbf{x=2x_V:}$


Este passo é importante para facilitar o esboço do gráfico, levando em conta que este possui uma simetria em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice:  $\mathsf{x=x_V}.$


Quando $\mathsf{x=2x_V,}$

$\mathsf{x=2\cdot \dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=1}$


e o valor da função neste ponto é

$\mathsf{y=1^2-1-1}\\\\ \mathsf{y=1-1-1}\\\\ \mathsf{y=-1}\qquad\quad\checkmark$


Não é coincidência este ser o mesmo valor que a função assume quando $\mathsf{x=0}.$ Justamente por causa da simetria.


Por fim, marca-se os pontos encontrados no plano cartesiano e esboça o gráfico. Será uma parábola que passa por estes pontos.


Bons estudos! :-)


Tags:  esboço gráfico função quadrática segundo grau

Answer 2

Imagem abaixo. Espero ter ajudado!