Question

O Engenheiro Nonato está realizando alguns cálculos para concluir um projeto, trabalhando com as funções a seguir:

Função f, sendo f(x) = sen(x) + 2
Função g, sendo g(x) = cos (x) – 2


a) Faça o gráfico de cada função, f e g, no mesmo plano cartesiano, dentro do intervalo [-π; π].

b) Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções f e g e pelas retas x = 0 e x = π.

c) O engenheiro precisa calcular o volume do reservatório representado pelos gráficos de f e g e as retas x = - π e x = π, cuja profundidade do reservatório mede 3 m.

Answer 1

(b) A área da região limitada é 2 + 4π u.a.

(c) O volume do reservatório é 24π m³.

a) Os gráficos da funções estão na imagem abaixo.

b) A área da região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = 0 e x = π será calculada pela integral abaixo:

$\int\limits^\pi_0 {f(x)-g(x)} \, dx =\int\limits^\pi_0 {sen(x)-cos(x)+4} \, dx$

Calculando, temos:

$\int\limits^\pi_0 {sen(x)} \, dx=-cos(x)|^\pi_0=-cos(\pi)-(-cos(0))=-(-1)+1=2$

$-\int\limits^\pi_0 {cos(x)} \, dx=-sen(x)|^\pi_0=-(sen(\pi)-sen(0))=0$

$\int\limits^\pi_0 4} \, dx=4x|^\pi_0=4\pi-4\cdot0=4\pi$

A área dessa região será dada por:

A = 2 - 0 + 4π

A = 2 + 4π u.a

c) A área da base do reservatório será dada por:

$\int\limits^\pi_{-\pi} {f(x)-g(x)} \, dx =\int\limits^\pi_{-\pi} {sen(x)-cos(x)+4} \, dx$

Calculando:

$\int\limits^\pi_{-\pi} {sen(x)} \, dx=-cos(x)|^\pi_{-\pi}=-cos(\pi)-(-cos(-\pi))=0$

$-\int\limits^\pi_{-\pi} {cos(x)} \, dx=-sen(x)|^\pi_{-\pi}=-(sen(\pi)-sen(-\pi))=0$

$\int\limits^\pi_{-\pi} 4} \, dx=4x|^\pi_{-\pi}=4\pi-4\cdot(-\pi)=8\pi$

Portanto, o volume do reservatório será:

V = 8π·3V = 24π m³