Question

O engenheiro Nonato está elaborando um projeto para construir uma piscina. Sabe-se que o local onde a piscina será construída é a região limitada pelos gráficos de f e g, e pelas retas x = ‒ 2 e x = 2, onde f(x) = ‒ x + 5 e g(x) = x² ‒ 2, com unidade de medida graduada em metros.

a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina conforme os dados apresentados. (vale 1,0 ponto)


b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina. (vale 1,0 ponto)


c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros, para a mesma ser preenchida. (vale 1,0 ponto)

v

Answer 1

A f(x) é uma reta que passa pelos pontos (0 , 5) e (5 , 0).

A g(x) é uma parábola com raízes +√2 e -√2 e vértice no ponto (0 , -2).

Igualando f(x) a g(x) encontramos os pontos de intersecção das duas funções:

$f(x)~=~g(x)\\\\\\-x+5~=~x^2-2\\\\\\x^2+x-7~=~0\\\\\\\boxed{x~=~\frac{-1\pm\sqrt{29}}{2}}$

Como a região é limitada por x=2 e x=-2, estes pontos de intersecção não terão utilidade, já que estão além da região limite.

a)

A região fica como a mostrada na figura anexada.

b)

Perceba que a função f(x) está, nos limites da região, sempre acima da função g(x), logo a área da região será dada pela subtração entre a area abaixo da função f(x) e a área abaixo da função g(x), no intervalo de x=-2 a x=2, logo:

$\int\limits^{2}_{-2} \left(~{f(x)~-~g(x)}~\right) \, dx~=\\\\\\\\\int\limits^{2}_{-2} \left(~(-x+5)~-~(x^2-2)}~\right) \, dx~= \\\\\\\\\int\limits^{2}_{-2} \left(-x^2-x+7~\right) \, dx~=~\left(-\frac{x^3}{3}~-~\frac{x^2}{2}~+~7x\right|^{2}_{-2}~=\\\\\\\\=~\left(-\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}~+~7~.~2\right)~-~\left(-\frac{(-2)^3}{3}-\frac{(-2)^2}{2}~+~7~.~(-2)\right)~=\\\\\\\\=~\left(-\frac{8}{3}-2~+~14\right)~-~\left(\frac{8}{3}-2~-~14\right)~=$

$=~-\frac{8}{3}-2~+~14-\frac{8}{3}+2~+~14~=\\\\\\\\=~\boxed{\frac{68}{3}~m^2}$

d)

O volume é dado pelo produto entre a area da piscina e a profundidade da mesma, logo:

$Volume~=~Area~da~Piscina~~.~~Profundidade\\\\\\Volume~=~\frac{68}{3}~.~1,5\\\\\\\boxed{Volume~=~34\,m^3}\\\\\\Cada~m^3~equivale~a~1000L,~logo:\\\\\\Volume~=~34~.~1000L\\\\\\\boxed{Volume~=~34000~Litros}$