Question

O ENADE é uma importante avaliação do Ministério da Educação, utilizada para avaliar as diversas instituições de ensino superior no Brasil com relação à qualidade da formação acadêmica dos egressos. O exame consiste numa prova composta de 35 questões, sendo elas divididas em dois eixos: Formação Geral (8 questões) e Conhecimento Específico (27 questões).

Eduardo realiza a prova do ENADE e chuta todas as questões de Conhecimento Específico. Calcule a probabilidade de ele acertar, no mínimo, 25 questões do Eixo de Conhecimento Específico.

Answer 1

A probabilidade de acertar 25 questões (ou mais) no enada apenas chutando é quase zero.

Observe que cada questão do enade tem 5 alternativas onde apenas 1 é correta.

Vamos utilizar a formula binomial de Newton para calcular a probabilidade binomial.

A fórmula binomial de newton é

$(p+q)^n=\sum_{k=0}^N \,\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(q)^{n-k}$

E nas aplicações de probabilidade, consideramos que $p+q=1=100\%$

A probabilidade binomial é o calculo de se conseguir $k$ sucessos em $n$ tentativas e é calculado por

$_nC_k\,\,p^{k}(1-p)^{n-k}= \dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}$

onde $p$ é a probabilidade de sucesso e $q=1-p$ é a probabilidade de falha

Neste caso, $p=\frac{1}{5}=0,2$ (1 de 5 alternativas é a correta) e $q=0,8$

$_nC_k\,\,0,2^{k}\,\,0,8^{n-k}= \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\,\,0,2^{k}\,\,0,8^{n-k}$

para adquirir confiança no uso da formula binomial, vamos considerar alguns exemplos preliminares:

Considere uma prova com 1 única questão calcule a probabilidade de acertar 1 questão (que será 20%=1/5)

Ou seja, teremos $_nC_k=_1C_1$

$_1C_1\,\,0,2^{1}\,\,0,8^{1-1}= \dfrac{1!}{1!(1-1)!}\,\,0,2^{1}\,\,0,8^{1-1}=0,2$

Considere agora uma prova com $n=3$ questões.

Qual a probabilidade de acertar 2 ou mais questões?

Podemos calcular ao fazer

$_3C_2\,\,0,2^{2}\,\,0,8^{3-2}\,\,+\,\,_3C_3\,\,0,2^{3}\,\,0,8^{3-3}\,\,=\,\,\dfrac{3!}{2!(3-2)!}\,\,0,2^{2}\,\,0,8^{3-2}\,\,+\,\,\dfrac{3!}{3!(3-3)!}\,\,0,2^{3}\,\,0,8^{3-3}\\\\\\\\\,\,\dfrac{3!}{2!(3-2)!}\,\,0,2^{2}\,\,0,8^{3-2}\,\,+\,\,\dfrac{3!}{3!(3-3)!}\,\,0,2^{3}\,\,0,8^{3-3}=3\times0,2^2\times0,8+0,2^3=0,104$que equivale a 10,4%

Vamos agora calcular o exemplo pedido:

a probabilidade de acertar, 25, 26 ou 27 questões no chute (de um ttal $n=27$)

Acertar 25 questões:

$_{27}C_{25}\,\,0,2^{25}\,\,0,8^{2}\,\,=\,\,\dfrac{27!}{25!(2)!}\,\,0,2^{25}\,\,0,8^{2}\,\,=7,5376676\times10^{-16}$

Acertar 26 questões:

$_{27}C_{26}\,\,0,2^{26}\,\,0,8^{1}\,\,=\,\,\dfrac{27!}{26!(1)!}\,\,0,2^{26}\,\,0,8^{1}\,\,=1,4495515\times10^{-17}$

Acertar 27 questões:

$_{27}C_{27}\,\,0,2^{27}\,\,0,8^{0}\,\,=\,\,\dfrac{27!}{27!(0)!}\,\,0,2^{27}\,\,0,8^{0}\,\,=1,3421773\times10^{-19}$

Ao somar tudo, teremos $7,68\times10^{-16}$ que é próximo de zero.

Veja que fazer estas contas não é de fato necessária pois $0,2^{25}$ é um número quase igual a zero.

Isto é fácil de perceber porque $0,2^{25}=\frac{2^{25}}{10^{25}}$

então teremos um número de ordem menor do que a $\frac{1}{10^{6}}$ o que já é quase zero (1 chance em 1 milhão)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: