Question

O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era $ 10, o número de doses vendidas era 200 por semana. Verificou também que, quando o preço caía para $7, o número de doses passava para 400 por semana.a)Obtenha a função demanda admitindo seu gráfico linear.b)Obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal, considerando o custo de uma dose igual a $ 4.

Answer 1

A) P= - 0,015x + 13
B) R$8,50

Answer 2

Utilizando definição de montagem de funções, maximos e minimos, temos que:

a) $y=-\frac{3}{200}.x+13$

b) R$ 8,50.

Explicação passo-a-passo:

a)Obtenha a função demanda admitindo seu gráfico linear.

Se o gráfico é linear, então ele obedece a seguinte equação:

$y=A.x+B$

Onde A e B são constantes.

Neste caso y será a demanda em valor de dose e x será a quantidade de doses vendidas, logo, temos pontos de gráfico (x,y), sendo eles (200,10) e (400,7), tendo dois pontos podemos descobrir A e B da nossa função:

$A=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-10}{400-200}=-\frac{3}{200}$

Assim nossa função fica:

$y=-\frac{3}{200}.x+B$

Para descobrir B, basta substituir qualquer ponto no valor de x e y:

$y=-\frac{3}{200}.x+B$ (substituindo (200,10))

$10=-\frac{3}{200}.200+B$

$10=-3+B$

$B=13$

Assim temos que nossa demanda é de:

$y=-\frac{3}{200}.x+13$

b)Obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal, considerando o custo de uma dose igual a $ 4.

Primeiramente vamos montar a função Receita, que é a demanda unitaria, vezes a quantidade vendida x:

$R(x)=y.x=-\frac{3}{200}.x^2+13x$

E agora vamos achar a função custo que é a quantidade vendida de doses, vezes o custo unitario:

$C(x)=4.x$

E como sabemos que Lucro é receita menos o custo, temos que:

$L(x)=R(x)-C(x)=-\frac{3}{200}.x^2+13x-4x=-\frac{3}{200}.x^2+9x$

Assim temos a função lucro:

$L(x)=-\frac{3}{200}.x^2+9x$

Como ela é uma função do segundo grau, ela tem a forma de uma prabola e neste caso ela é voltada para baixo, então ela tem um ponto maximo que é o seu vertice, encontrando o x do vertice teremos a quantidade para o lucro ser maximo:

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$x_v=-\frac{9}{2.(-\frac{3}{200})}$

$x_v=\frac{9.200}{2.3}$

$x_v=300$

Assim para o lucro ser maximo é necessario vender 300 doses, e com isso podemos encontrar o preço de cada dose utilizando a demanda:

$y=-\frac{3}{200}.x+13$

$y=-\frac{3}{200}.300+13$

$y=-\frac{9}{2}+13$

$y=-4,5+13$

$y=8,5$

Assim para o lucro ser maximo a dose deve ser vendida a R$ 8,50.