Question

O domínio da função $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y^2+x^2}}{x^2-2x-3}$ pode ser representado pelo conjunto:

a) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ \textless \ -1\text{ ou }x\ \textgreater \ 3\text{ e }y\in\mathbb{R}\}$

b) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ \textgreater \ 0\text{ e }y\ge -x\}$

c) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ne 0\text{ e }y\ge -x\}$

d) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~0\ \textless \ x\ \textless \ 1\text{ e }y\ \textgreater \ 1\}$

e) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ne 0\text{ e }y\in \mathbb{R}\}$

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{A fun\c{c}\~ao dada \'e descrita pela lei}\\\\ f(x,\,y)=\dfrac{\sqrt{y^2+x^2}}{x^2-2x-3}\\\\\\ \textsf{Restri\c{c}\~oes para o dom\'inio:}\\\\ \bullet~~~\textsf{Radicandos em \'indice par n\~ao podem ser negativos:}\\\\ \textsf{Temos uma raiz quadrada envolvida, ent\~ao devemos ter}\\\\ y^2+x^2\ge 0\qquad\mathbf{(i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Temos uma soma de quadrados, ent\~ao todos os valores reais }\\\textsf{de }x\textsf{ e }y\textsf{ satisfazem }\mathbf{(i), }\textsf{ j\'a que a soma de dois quadrados nunca}\\\textsf{d\'a resultado negativo.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \bullet~~~\textsf{O denominador n\~ao pode se anular:}\\\\ \textsf{Devemos ter ent\~ao}\\\\ x^2-2x-3\ne 0\\\\ x^2+x-3x-3\ne 0\\\\ x(x+1)-3(x+1)\ne 0\\\\ (x+1)(x-3)\ne 0\\\\ \begin{array}{rcl} x+1\ne 0&~\text{ e }~&x-3\ne 0\\\\ x\ne -1&~\text{ e }~&x\ne 3\qquad\mathbf{(ii)} \end{array} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{O dom\'inio \'e determinado pelas condi\c{c}\~oes }\mathbf{(i)}\textsf{ e }\mathbf{(ii):}\\\\ D=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ne -1~\textsf{ e }~x\ne 3~\textsf{ e }~y\in\mathbb{R}\}.\\\\\\ \textsf{Resposta: nenhuma das alternativas apresentadas.}\\\\ \textsf{Parece haver um erro de digita\c{c}\~ao no enunciado ou nas}\\\textsf{alternativas.}\\\\\\ \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos!} \end{array}$