Question

O domínio da função real f(g(x)), sabendo-se que f(x) = raiz de x e g(x) = x²+x/x+2 é:
a) g(x) = 9x-15
b) g(x) = 9x +15 
c) g(x) = 15x-9
d) g(x) = 15x+9
e) g(x) = 9x-5

Answer 1

Boa tarde. Estamos perante uma função composta f(g(x)).
Para tal, o domínio de f(g(x))= {x∈ R: x ∈ Dg ∧ g(x)∈ Df}.
Assim, vamos determinar os domínios de f e de g.
Domínio de f(x):
- como é uma raiz quadrada, temos de garantir que a sua base é positiva ou nula, ou seja, 
$x \geq 0$. Assim, Df= [0;+infinito[

Domínio de g(x)
-Como é uma fração, temos de garantir que o denominador não se anule. Assim, $x+2 \neq 0$⇔$x \neq -2$. Ficamos com Dg=R\{-2}.

Tendo já os domínios determinados, apliquemos no cálculo do domínio da composta:
 x ∈ Dg ∧ $\frac{x^{2}+x }{x+2}$∈[0;+ infinito[
Ora x$\neq -2$ ∧  $\frac{x^{2}+x }{x+2}$≥0.
Resolvendo a segunda condição:
 $\frac{x^{2}+x }{x+2}$≥0.
Temos primeiro de determinar os zeros do denominador e do numerador.
Ora o numerador nunca se anula.
O denominador anula-se em x=-2.
Passamos para o estudo do sinal de $\frac{x^{2}+x }{x+2}$. Veja documento em anexo.
Assim, chegamos que x≥0∧ x>-2. Da sua interseção teremos apenas
 x≥0. Sendo então o domínio pretendido [0;+ infinito[.