Question

O dominio da função real definida por y=√log1/2x+3 é

Answer 1

Resposta:

 0 < x ≤ 8

( ver gráfico em anexo 2 )

Explicação passo a passo:

Para determinar este domínio temos que levar em consideração quando é

que uma raiz quadrada tem cálculo possível em |R.

Observação 1 → Domínio de raiz quadrada

Raiz quadrada de uma determinada expressão tem valor quando o

radicando é maior ou igual 0.

Assim a expressão :

$log_{\frac{1}{2} }(x)+3$

terá que vir maior o igual a zero.

Caso contrário não se poderá extrair a raiz quadrada.

Façamos primeiro o estudo de :

$log_{\frac{1}{2} }(x)$

1º Esta função é decrescente

Tal resulta da base do logaritmo , 1/2 estar entre 0 e 1.

E só tem valores positivos quando x varia entre zero e um , x ∈ (0 ; 1 )

( ver anexo 1 )

Como no radicando está  

$log_{\frac{1}{2} }(x)+3$

que também será uma função com valores positivos desde x = 0 , até

quando esta função nos der o valor zero.

Procuremos o valor de x que anula

$log_{\frac{1}{2} }(x)+3$

$log_{\frac{1}{2} }(x)+3 = 0$

$log_{\frac{1}{2} }(x) = -3$

Pela definição de logaritmo

$x = (\frac{1}{2}) ^{-3}$

$x = (\frac{2}{1}) ^{+3}$

$x = 2^3$

x = 8

Ou seja o radicando $log_{\frac{1}{2} }(x)+3$ será maior ou igual a zero no intervalo

( 0 ; 8 ]

Assim o domínio de

$\sqrt{log_{\frac{1}{2} } (x)+3}$

será ( 0 ; 8 ] , o mesmo que  0 < x ≤ 8

Que é quando o radicando assume valores positivos ou nulo, condição para

que a raiz quadrada seja valida.

(ver gráfico em anexo 2 )

Observação 2 → Definição de logaritmo

Logaritmo de "a" na base "b" é igual a "x" , quando

$log_{b}(a)= x....equivale ..... a=b^{x}$

Elementos de :

$log_{b}(a)=x$

e lê-se : logaritmo de "a" na base "b" é igual a "x".

x → logaritmo

a → logaritmando ( valor para o qual se calcula o logaritmo, logaritmo de "a")

b = base ( que está a ser usada )

variação da base → tem que ser maior que zero, e não pode ser 1

logo base ∈ { $R^{+}$ \ 1 }

Observação 3 → Mudança de sinal no expoente numa potência

Primeiro tem que se inverter a base, e depois mudar o sinal ao expoente.

Exemplo

$(\dfrac{1}{2} })^{-3}=(\dfrac{2}{1}) ^{3} =\dfrac{2^3}{1^3} =8$

Bons estudos.

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( ∈ ) pertence a       ( $R^{+}$ )  números reais positivos     ( \ ) exceto

( < ) menor do que      ( ≤ )  menor ou igual     ( 1 ; 7  ]  intervalo entre 1, não

incluído, e  7 incluído.

( sqr ) raiz quadrada , está num dos gráficos.

sqr = letras da palavra inglesa "square root " = raiz quadrada