Question

o domínio da função real definida por f(x) = $\sqrt{ x^{1 + log _{a}x }- a^{2}x$ é:

a) 0 < x ≤ $a^{- \sqrt{2} }$ ou x ≥$a^{ \sqrt{2} }$ se 0 < a < 1
b) $a^{ \sqrt{2} }$ ≤ x ≤ $a^{- \sqrt{2} }$ se a > 1
c) $a^{ \sqrt{2} }$ ≤ x ≤ $a^{- \sqrt{2} }$ se 0 < a < 1
d) x < $a^{- \sqrt{2} }$ ou x>$a^{ \sqrt{2} }$ se a >1

Resposta: letra c

Answer 1

Olá

Temos que a função é uma raiz quadrada. Como queremos o domínio da função real, então tudo que está dentro da raiz deverá ser maior ou igual a zero, ou seja,

$x^{log_{a}x + 1} - a^{2}x \geq 0$ (*)

Antes de começarmos a resolver considere que:

1) $log_{a}x = y$
2) De 1) temos, portanto que $x = a^{y}$

Voltando à inequação (*) e lembrando das propriedades de potência, temos que:

$x^{log_{a}x}.x \geq a^{2}.x$
$x^{log_{a}x} \geq a^{2}$
$(a^{y})^{y} \geq a^{2}$
$a^{y^{2}} \geq a^{2}$
$y^{2} \geq 2$
$\sqrt{2} \leq y \leq - \sqrt{2}$

ou seja, 

$\sqrt{2} \leq log_{a}x \leq - \sqrt{2}$
$a^{ \sqrt{2}} \leq x \leq a^{- \sqrt{2}}$ (**)

Para que (**) o a tem que estar entre 0 e 1. 

Abaixo temos dois gráficos: perceba que o primeiro é quando a função obedece a (**) e o segundo perceba que a função não obedece a (**).

Portanto, a alternativa correta é a letra c)

Answer 2

Resposta:

C

Explicação passo-a-passo: