Question

O domínio da função f(x) = (NA IMAGEM ABAIXO) é o conjunto

Answer 1

O domínio de uma função é o conjunto de valores que a variável independente pode assumir que faça com que a função exista.

No caso da função deste exercício:
$f(x) = \sqrt{ \dfrac{x^2-4}{-x^2+3x} }$

Temos duas restrições para f(x). A primeira é que o argumento da raiz não pode ser negativo, ou seja:
$\dfrac{x^2-4}{-x^2+3x} \geq 0$

A segunda restrição é que o denominador -x²+3x não seja igual a 0:
$-x^2+3x \neq 0$

Para a segunda restrição:
$-x^2+3x \neq 0 \\ 3x \neq x^2 \\ x \neq 3$

Para a primeira restrição, temos que o numerador e o denominador devem ser positivos:
$\dfrac{x^2-4}{-x^2+3x} \geq 0 \\ \\ \\ x^2-4 \geq 0 \\ x^2 \geq 4 \\ x \geq \pm 2 \\ \\ -x^2+3x \ \textgreater \ 0 \\ 3x\ \textgreater \ x^2 \\ x\ \textless \ 3$

Se x deve ser maior que 2 e maior que -2, conclui-se que ele não pode ser maior ou igual a 0, pois 0 é menor que 2. Então temos que -2 ≤ x < 0 e 2 ≤ x < 3

Também para a primeira restrição, o numerador e o numerador podem ser ambos negativos:
$x^2-4 \leq 0 \\ x^2 \leq 4 \\ x \leq 2 \\ \\ -x^2+3x \ \textless \ 0 \\ 3x \ \textless \ x^2 \\ x \ \textgreater \ 3$

Porém, não existe nenhum número que seja maior que 3 e menor que 2 ao mesmo tempo, então estas condições não são válidas.

Resposta: Letra D