Question

O DOMINIO DA FUNÇAO F(X) = LOG DE (X-1) DE BASE 2-X

Answer 1

Pelas propriedades do log, sua base deve ser maior que 0 e diferente de 1.
Seu logaritmando deve ser maior que 0.
Logo.
1) 2 - x > 0
x < 2

2) 2 - x =! 1
x =! 1

3) x -1 > 0
x > 1

Juntando essas três condições, o domínio da função é:
1 < x < 2

Answer 2

Definição de uma função logarítmica:

$\mathrm{A\ fun\text{\c{c}}\tilde{a}o\ }f\mathrm{\ de\ }]0,\ +\infty[\mathrm{\ em\ }\mathbb{R}\mathrm{,\ que\ a\ todo\ n\acute{u}mero\ }x\ \textgreater \ 0\mathrm{\ associa\ o}\\\mathrm{logaritmo\ de\ }x\mathrm{,\ em\ uma\ base\ }a\ (a\ \textgreater \ 0\text{ e }a\ne1)\mathrm{,\ \acute{e}\ denominada\ }\mathbf{fun\text{\c{c}}\tilde{a}o}\\\mathbf{logar\acute{i}tmica}\mathrm{\ de\ base\ }a:\center{\boxed{\begin{matrix}f:\ ]0,\ +\infty[\ &\rightarrow&\mathbb{R}&\\\qquad\qquad\quad{x}&\mapsto&y&\!\!\!\!\!=\log_ax,\ a\ \textgreater \ 0\text{ e }a\ne1\end{matrix}}}$

Assim, temos a forma representativa de uma função logarítmica:

$\center{\begin{matrix}f(x)=\log_ax\end{matrix}}$

Que ao ser comparada com a função em questão:

$\center{\begin{matrix}f(x)&=&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\log_ax\\\\f(x)&=&\log_{2-x}(x-1)\end{matrix}}$

Observamos que o logaritmando é: $x-1$; e a base é: $2-x$.
Pela definição de função logarítmica, o logaritmando deve ser maior que 0, logo:

$x-1>0\longrightarrow{x>1}$

e a base deve ser maior que 0 e diferente de 1:

$2-x>0\longrightarrow{x<2}\\\\2-x\ne1\longrightarrow{x}\ne1$

Por fim, para obtermos o domínio da função, basta calcularmos a intersecção dos intervalos:

$x\ \textgreater \ 1\text{ ou }]1,\ +\infty[;\qquad\text{ e }\qquad{x}\ \textless \ 2\ \text{ ou }]-\infty,\ 2[.$

Que resulta em:

$\center{\begin{matrix}1\ \textless \ x\ \textless \ 2\ \text{ ou }]1,\ 2[\end{matrix}}$

Portanto:

$\center{\boxed{\boxed{\begin{matrix}D(f)=\{x\in\mathbb{R}\ |\ 1\ \textless \ x\ \textless \ 2\}\text{ ou }D(f)=]1,\ 2[\end{matrix}}}}$