Question

O dobro de um número x adicionado ao triplo de outro número y resulta 15, e o produto x · y é o maior possível. Qual é a soma x + y?

a) 15/4


b) 6


c) 5/2


d) 25/4


e) 10

Answer 1

Sabemos que $2x+3y=15$ e que o produto $x*y$ é o maior possível. Mas quanto vale $x*y$?

Vamos multiplicar a primeira equação por $x$:

$x*(2x+3y)=x*(15) \rightarrow 2x^2+3xy=15x \rightarrow xy=5x-\frac{2}{3}x^2$

Então o produto $x*y$ é descrito por esta função, então o maior produto possível será quando esta função atingir seu máximo.

Para descobrir o quanto vale este máximo, vamos encontrar as raízes da função primeiro, utilizando a fórmula de Bháskara (a = -2/3, b = 5, c = 0):

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \rightarrow x = \frac{-5 \pm \sqrt{25}}{-\frac{4}{3}} \rightarrow x = 0, x=\frac{15}{2}$

O gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Por conta da simetria da parábola, a função atinge seu máximo quando x é o ponto médio das raízes dessas funções. Portanto, a função atinge seu máximo quando $x = \frac{0+\frac{15}{2}}{2}=\frac{15}{4}$.

Agora, conseguimos encontrar o maior valor para o produto $x*y$:

$xy_{max}=5*\frac{15}{4}-\frac{2}{3}*(\frac{15}{4})^2 \rightarrow xy_{max}=\frac{75}{8}$

Então, para descobrir quanto vale x e y, basta resolvermos o sistema:

$\left \{ {{2x+3y=15} \atop {xy=\frac{75}{8}}} \right.$

Resolvendo o sistema, descobrimos que $x=\frac{15}{4}$ e $y=\frac{5}{2}$. Então, x + y = 25/4 (D)