Question

O divergente de F(x, y) = (4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale:

Answer 1

Vou apenas aplicar a definição de divergente na função que você passou. Uma função vetorial (de duas variáveis em duas dimensões) sempre pode ser escrita como:

$\vec{F}(x,y)=f(x,y)\hat{i}+g(x,y)\hat{j}$

Lembre-se que o divergente é produto do operador nabla com uma função vetorial qualquer:

$\text{div}\vec{F}(x,y)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}(x,y)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}$

Na função que você deu temos

$f(x,y)=4x^2-y$
$g(x,y)=xy-3y^2$ ,

de modo que

$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=8x$
$\frac{\partial{g}}{\partial{y}}=x-6y$ .

Assim, o divergente de F é:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}(x,y)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}=(8x)+(x-6y)$ ,

ou seja,

$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}(x,y)=9x-6y$ .